Bài 3.54 trang 133 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hai đường thẳng d: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y =  - 2t}\\{z = 7 + t}\end{array}} \right.$  và  d₁:  $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 2 + t'}\\{y =  - 2}\\{z =  - 11 - t'}\end{array}} \right.$

Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d₁ đến (P) là bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Hình 3.32

Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ;7) có vecto chỉ phương $\overrightarrow a (0; - 2;1)$.

Đường thẳng d₁ đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương $\overrightarrow b (1;0; - 1)$.

Do d và d₁ chéo nhau nên (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn vuông góc chung AB của d, d₁ và song song với d và d₁.

Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:

Lấy điểm A(6; - 2t; 7 + t) thuộc d, B( -2 + t’; -2 ; -11 – t’) thuộc d₁. Khi đó: $\overrightarrow {AB}  = ( - 8 + t'; - 2 + 2t; - 18 - t - t')$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow a }\\{\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow b }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow a  = 0}\\{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow b  = 0}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2( - 2 + 2t) + ( - 18 - t - t') = 0}\\{ - 8 + t' - ( - 18 - t - t') = 0}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5t - t' - 14 = 0}\\{t + 2t' + 10 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t =  - 2}\\{t' =  - 4}\end{array}} \right.$

Suy ra  A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)

Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = ( - 12; - 6; - 12)$. Chọn $\overrightarrow {{n_P}}  = (2;1;2)$

Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0  hay 2x + y  +2z + 1 = 0.

Chú ý:

Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:

Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d₁ là là  $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 1}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 1}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\0\end{array}}\end{array}} \right|} \right)$$= \left( {2;1;2} \right)$

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.

Khi đó: $\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow a ,\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]} \right]$$= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\2\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}0\\2\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\1\end{array}}\end{array}} \right|} \right)$ $= \left( { - 5;2;4} \right)$

Phương trình của (Q) là : $–5(x – 6) + 2y + 4(z – 7) = 0$ hay $–5x + 2y + 4z + 2 = 0$

Để tìm  ${d_1} \cap (Q)$  ta thế phương trình của d1 vào phương trình của (Q). Ta có:

$–5(–2 + t’) + 2(–2)  +4(–11 – t’ ) + 2 = 0$ $\Rightarrow t' = 4$

$\Rightarrow {d_1} \cap \left( Q \right) = B\left( { - 6; - 2; - 7} \right)$

Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa ${d_1}$ và đường vuông góc chung AB.

Khi đó: $\overrightarrow {{n_R}}  = ( - 1;4; - 1)$

Phương trình của (R) là $–x  + 4y – z – 5 = 0$.

Suy ra  $d \cap (R) = A(6;4;5)$

Loigiaihay.com