Trang chủ

Giải bài 3.39 trang 43 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

b) Tính giá trị của biểu thức

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa...

Quảng cáo

Đề bài

Cho \(\sin {15^ \circ } = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}.\)

a) Tính \(\sin {75^ \circ },\,\,\cos {105^ \circ },\,\,\tan {165^ \circ }.\)

b) Tính giá trị của biểu thức

\(A = \sin {75^ \circ }.\cos {165^ \circ } + \cos {105^ \circ }.\sin {165^ \circ }.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Dùng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) để tính \(\cos \alpha \)và \(\tan \alpha .\)

- Áp dụng các công thức lượng giác của các góc phụ nhau, bù nhau để tính \(\sin {75^ \circ },\,\,\cos {105^ \circ },\,\,\tan {165^ \circ }.\)

- Thay các giá trị vừa tính được vào biểu thức \(A.\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \({\sin ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{15^ \circ } = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \,\,{\cos ^2}{15^ \circ } = 1 - {\sin ^2}{15^ \circ } = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow \,\,\cos {15^ \circ } = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}} = \sqrt {\frac{{8 + 4\sqrt 3 }}{{16}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} + 2.\sqrt 6 .\sqrt 2 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{16}}} \\ \Rightarrow \,\,\cos {15^ \circ } = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{16}}} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}.\end{array}\)

Ta có: \(\tan {15^ \circ } = \frac{{\sin {{15}^ \circ }}}{{\cos {{15}^ \circ }}} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}:\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4} = 2 - \sqrt 3 \)

a) \(\sin {75^ \circ } = \sin \left( {{{90}^ \circ } - {{15}^ \circ }} \right) = \cos {15^ \circ } = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}.\)

\(\cos {105^ \circ } = \cos \left( {{{180}^ \circ } - {{75}^ \circ }} \right) = - \cos {75^ \circ } = - \cos \left( {{{90}^ \circ } - {{15}^ \circ }} \right) = - \sin {15^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}.\)

\(\tan {165^ \circ } = \tan \left( {{{180}^ \circ } - {{15}^ \circ }} \right) = - \tan {15^ \circ } = \sqrt 3 - 2.\)

b) \(A = \sin {75^ \circ }.\cos {165^ \circ } + \cos {105^ \circ }.\sin {165^ \circ }.\)

Ta có: \(\cos {165^ \circ } = \cos \left( {{{180}^ \circ } - {{15}^ \circ }} \right) = - \cos {15^ \circ } = - \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}.\)

Ta có: \(\sin {165^ \circ } = \tan {165^ \circ }.\cos {165^ \circ } = - \left( {\sqrt 3 - 2} \right).\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}.\)

\(\begin{array}{l}A = \sin {75^ \circ }.\cos {165^ \circ } + \cos {105^ \circ }.\sin {165^ \circ }\\A = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}.\left( { - \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}} \right) + \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}.\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\\A = \frac{{ - 4\sqrt 3 - 8}}{{16}} + \frac{{ - 8 + 16\sqrt 3 }}{{16}} = \frac{{ - 16}}{{16}} = - 1.\end{array}\)