Giải bài 3.42 trang 44 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 3,\,\,b = 5,\,\,c = 7.\)

a) Tính các góc của tam giác, làm tròn đến độ.

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lý cosin, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}\\{\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}\\{\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{25 + 49 - 9}}{{2.5.7}} = \frac{{13}}{{14}}}\\{\cos B = \frac{{9 + 49 - 25}}{{2.3.7}} = \frac{{11}}{{14}}}\\{\cos C = \frac{{9 + 25 - 49}}{{2.3.5}} = \frac{{ - 1}}{2}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat A \approx {{22}^ \circ }}\\{\widehat B \approx {{38}^ \circ }}\\{\widehat C = {{120}^ \circ }}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là:

\(R = \frac{c}{{2\sin C}} = \frac{7}{{2.\sin {{120}^ \circ }}} = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}.\)

Nửa chu vi \(\Delta ABC\) là: \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{3 + 5 + 7}}{2} = \frac{{15}}{2}.\)

Diện tích \(\Delta ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}.3.5.\sin {120^ \circ } = \frac{{15\sqrt 3 }}{4}.\)

Bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) là: \(r = \frac{S}{p} = \frac{{15\sqrt 3 }}{4}:\frac{{15}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)