Giải bài 3.41 trang 44 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(c = 1,\,\,a = 2,\,\,\widehat B = {120^ \circ }.\)

a) Tính \(b,\,\,\widehat A,\,\,\widehat C.\)

b) Tính diện tích của tam giác

c) Tính độ dài đường cao kẻ từ \(B\) của tam giác

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lý cosin, ta có:

\(\begin{array}{l}{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B\\ \Rightarrow \,\,{b^2} = 4 + 1 - 2.2.1.\cos {120^ \circ } = 7\\ \Rightarrow \,\,b = \sqrt 7 .\end{array}\)

Áp dụng định lý sin, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}}\\{\frac{c}{{\sin C}} = \frac{b}{{\sin B}}}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin A = \frac{{a.\sin B}}{b} = \frac{{2.\sin {{120}^ \circ }}}{{\sqrt 7 }} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}}\\{\sin C = \frac{{c.\sin B}}{b} = \frac{{1.\sin {{120}^ \circ }}}{{\sqrt 7 }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat A \approx {{41}^ \circ }}\\{\widehat C \approx {{19}^ \circ }}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

b) Diện tích \(\Delta ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B = \frac{1}{2}.2.1.\sin {120^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

c) Độ dài đường cao kẻ từ \(B\) của \(\Delta ABC\) là: \({h_b} = \frac{{2S}}{b} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}.\)