Giải bài 3.38 trang 43 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho góc tù \(\alpha \) có \(\sin \alpha  = \frac{1}{3}.\)

a) Tính \(cos\alpha ,\,\,\tan \alpha ,\,\,\cot \alpha .\)

b) Tính giá trị của các biểu thức:

\(\) \(\begin{array}{l}A = \sin \alpha .\cot \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) + \cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right).\cot \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right).\\B = \frac{{3\left( {\sin \alpha  + \sqrt 2 .\cos \alpha } \right) - 2}}{{\sin \alpha  - \sqrt 2 .\cos \alpha }}.\end{array}\)

Lời giải chi tiết

a) Vì \({90^ \circ } < \alpha  < {180^ \circ }\) nên \(\cos \alpha  < 0,\,\,\tan \alpha  < 0,\,\,\cot \alpha  < 0.\)

Ta có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\,\, \Rightarrow \,\,{\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = \frac{8}{9}\,\, \Rightarrow \,\,\cos \alpha  = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}.\)

Suy ra: \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - \sqrt 2 }}{4}\) và \(\cot \alpha  =  - 2\sqrt 2 \).

b) Ta có: \(\cot ({180^o} - \alpha ) =  - \cot \alpha \), \(\cot ({90^o} - \alpha ) = \tan \alpha \).

\(A = \sin \alpha .\cot \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) + \cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right).\cot \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right)\)

\(= \sin \alpha .\left( { - \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right) + ( - \cos \alpha ).\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)

\(\begin{array}{l}= \sin \alpha .\left( { - \cot \alpha } \right) + \left( { - \cos \alpha } \right).\tan \alpha \\=  - \cos \alpha  + \left( { - \sin \alpha } \right) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} - \frac{1}{3} = \frac{{2\sqrt 2  - 1}}{3}.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{3\left( {\sin \alpha  + \sqrt 2 .\cos \alpha } \right) - 2}}{{\sin \alpha  - \sqrt 2 .\cos \alpha }}\\= \frac{{3\left( {\frac{1}{3} - \sqrt 2 .\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) - 2}}{{\frac{1}{3} + \sqrt 2 .\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = \frac{{ - 5}}{{\frac{5}{3}}} =  - 3.\end{array}\)