Bài 3.31 trang 178 SBT giải tích 12

LG câu a

$\displaystyle  y = 2x - {x^2},x + y = 2$

Phương pháp giải:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

- Sử dụng công thức tính diện tích $\displaystyle  S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

Giải chi tiết:

Ta có: $\displaystyle  y = 2x - {x^2},y = 2 - x$

Phương trình hoành độ giao điểm: $\displaystyle  2x - {x^2} = 2 - x$ $\displaystyle   \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$

Khi đó diện tích $\displaystyle  S = \int\limits_1^2 {\left| {2x - {x^2} - 2 + x} \right|dx}$ $\displaystyle   = \int\limits_1^2 {\left| { - {x^2} + 3x - 2} \right|dx}$ $\displaystyle   = \int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 3x - 2} \right)dx}$

$\displaystyle   = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{3}{2}{x^2} - 2x} \right)} \right|_1^2$ $\displaystyle   =  - \dfrac{8}{3} + 6 - 4 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{1}{6}$

Vậy $\displaystyle  S = \dfrac{1}{6}$.

LG câu b

$\displaystyle  y = {x^3} - 12x,y = {x^2}$

Phương pháp giải:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm $\displaystyle  {x_1} < {x_2} < ... < {x_n}$.

- Tính diện tích theo công thức:

$\displaystyle  S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_n}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$ $\displaystyle   = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$ $\displaystyle   + \int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}  + ...$ $\displaystyle   + \int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

$\displaystyle   = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|$ $\displaystyle   + \left| {\int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|$ $\displaystyle  ... + \left| {\int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|$.

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\displaystyle  {x^3} - 12x = {x^2}$$\displaystyle   \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 12x = 0$ $\displaystyle   \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - x - 12} \right) = 0$ $\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - x - 12 = 0\end{array} \right.$ $\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 3\\x = 4\end{array} \right.$

Diện tích là:

$\displaystyle  S = \int\limits_{ - 3}^4 {\left| {{x^3} - 12x - {x^2}} \right|dx}$ $\displaystyle   = \int\limits_{ - 3}^0 {\left| {{x^3} - 12x - {x^2}} \right|dx}$ $\displaystyle   + \int\limits_0^4 {\left| {{x^3} - 12x - {x^2}} \right|dx}$

$\displaystyle   = \left| {\int\limits_{ - 3}^0 {\left( {{x^3} - {x^2} - 12x} \right)dx} } \right|$ $\displaystyle   + \left| {\int\limits_0^4 {\left( {{x^3} - {x^2} - 12x} \right)dx} } \right|$ $\displaystyle   = \frac{{99}}{4} + \frac{{160}}{3} = \frac{{937}}{{12}}$.

Vậy $\displaystyle  S = \frac{{937}}{{12}}$.

LG câu c

$\displaystyle  x + y = 1;x + y =  - 1;$ $\displaystyle  x - y = 1;x - y =  - 1$

Phương pháp giải:

Dựng hình và suy ra diện tích.

Giải chi tiết:

Vẽ các đường thẳng $\displaystyle  x + y = 1;x + y =  - 1;$ $\displaystyle  x - y = 1;x - y =  - 1$ trên hệ tục tọa độ ta được phần cần tính diện tích là hình vuông có các đỉnh $\displaystyle  \left( { - 1;0} \right),\left( {0; - 1} \right),\left( {1;0} \right),\left( {0;1} \right)$.

Diện tích hình vuông là: $\displaystyle  S = 4.\frac{1}{2}.1.1 = 2$.

Chú ý:

Sử dụng công thức tích phân ta được $\displaystyle  S = 4\int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx}$$\displaystyle   = 4\left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = 4\left( {1 - \frac{1}{2}} \right) = 2$.

LG câu d

 $\displaystyle  y = \frac{1}{{1 + {x^2}}},y = \frac{1}{2}$

Phương pháp giải:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm $\displaystyle  {x_1} < {x_2} < ... < {x_n}$.

- Tính diện tích hình phẳng theo công thức $\displaystyle  S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_n}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

Giải chi tiết:

Ta có: $\displaystyle  \frac{1}{{1 + {x^2}}} = \frac{1}{2}$$\displaystyle   \Leftrightarrow 1 + {x^2} = 2$ $\displaystyle   \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1$.

Diện tích: $\displaystyle  S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right|dx}$$\displaystyle   = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx}$

Dễ thấy hàm số $\displaystyle  y = \frac{1}{{{x^2} + 1}} - \frac{1}{2}$ là hàm số chẵn nên $\displaystyle  S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx}$ $\displaystyle   = 2\int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx}$

Xét $\displaystyle  I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx}$$\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}}  - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {dx}$ $\displaystyle   = J - \frac{1}{2}$ với $\displaystyle  J = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx}$

Đặt $\displaystyle  x = \tan t \Rightarrow dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt$ $\displaystyle   \Rightarrow J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{1 + {{\tan }^2}t}}{{1 + {{\tan }^2}t}}dt}  = \frac{\pi }{4}$$\displaystyle   \Rightarrow I = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}$

Vậy $\displaystyle  S = 2I = 2.\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - 1$.

LG câu e

$\displaystyle  y = {x^3} - 1$ và tiếp tuyến với $\displaystyle  y = {x^3} - 1$ tại điểm $\displaystyle  \left( { - 1; - 2} \right)$.

Phương pháp giải:

- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $\displaystyle  \left( { - 1; - 2} \right)$.

- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa tiếp tuyến với đồ thị hàm số.

- Tính diện tích theo công thức $\displaystyle  S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

Giải chi tiết:

Xét $\displaystyle  y = g\left( x \right) = {x^3} - 1$ có $\displaystyle  g'\left( x \right) = 3{x^2}$$\displaystyle   \Rightarrow g'\left( { - 1} \right) = 3$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\displaystyle  y = g\left( x \right)$ tại điểm $\displaystyle  \left( { - 1; - 2} \right)$ là:

$\displaystyle  y = 3\left( {x + 1} \right) - 2$ hay $\displaystyle  y = 3x + 1$.

Xét phương trình $\displaystyle  {x^3} - 1 = 3x + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 2 = 0$ $\displaystyle   \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.$

Diện tích: $\displaystyle  S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} - 3x - 2} \right|dx}$ $\displaystyle   = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^3} + 3x + 2} \right)dx}$ $\displaystyle   = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{3}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^2$ $\displaystyle   =  - 4 + 6 + 4 + \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{{27}}{4}$.

Vậy $\displaystyle  S = \dfrac{{27}}{4}$.

Loigiaihay.com