Bài 3.35 trang 178 SBT giải tích 12

LG a

Tính diện tích $\displaystyle  {S_n}$ của hình bậc thang (tổng diện tích của $\displaystyle  n$ hình chữ nhật con).

Phương pháp giải:

Tính diện tích từng hình chữ nhật rồi tính tổng.

Giải chi tiết:

Ta có: $\displaystyle  {S_1} = \frac{1}{n}.{e^{ - \frac{1}{n}}}$; $\displaystyle  {S_2} = \frac{1}{n}.{e^{ - \frac{2}{n}}}$; …;$\displaystyle  {S_n} = \frac{1}{n}.{e^{ - \frac{n}{n}}}$

$\displaystyle   \Rightarrow {S_n} = \frac{1}{n}\left( {{e^{ - \frac{1}{n}}} + {e^{ - \frac{2}{n}}} + ... + {e^{ - \frac{n}{n}}}} \right)$$\displaystyle   = \frac{1}{n}.{e^{ - \frac{1}{n}}}\frac{{1 - {{\left( {{e^{ - \frac{1}{n}}}} \right)}^n}}}{{1 - {e^{ - \frac{1}{n}}}}} = \frac{1}{n}.\frac{{1 - {e^{ - 1}}}}{{{e^{\frac{1}{n}}} - 1}}$

LG b

Tìm $\displaystyle  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}$ và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân.

Phương pháp giải:

Tính giới hạn $\displaystyle  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}$ và tính diện tích bằng công thức tích phân $\displaystyle  S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$ rồi so sánh.

Giải chi tiết:

$\displaystyle  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = 1 - {e^{ - 1}}$

Mặt khác $\displaystyle  S = \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx}  =  - \left. {{e^{ - x}}} \right|_0^1 = 1 - {e^{ - 1}}$.

Do đó $\displaystyle  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = 1 - {e^{ - 1}} = \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx}  = S$

Loigiaihay.com