Giải bài 3.14 trang 34 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

Đề bài

Cho a, b là hai số dương khác nhau thỏa mãn điều kiện \(a - b = \sqrt {1 - {b^2}}  - \sqrt {1 - {a^2}} \). Chứng minh rằng \({a^2} + {b^2} = 1\).

Lời giải chi tiết

Điều kiện: \(0 < a,b \le 1,a \ne b\)

Ta có:

\(a - b = \sqrt {1 - {b^2}}  - \sqrt {1 - {a^2}} \)

\(a + \sqrt {1 - {a^2}}  = \sqrt {1 - {b^2}}  + b\)

\({\left( {a + \sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {1 - {b^2}}  + b} \right)^2}\)

\({a^2} + 2a\sqrt {1 - {a^2}}  + 1 - {a^2} = {b^2} + 2b\sqrt {1 - {b^2}}  + 1 - {b^2}\)

\(a\sqrt {1 - {a^2}}  = b\sqrt {1 - {b^2}} \)

\({\left( {a\sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2} = {\left( {b\sqrt {1 - {b^2}} } \right)^2}\)

\({a^2} - {a^4} = {b^2} - {b^4}\)

\({a^4} - {b^4} + {b^2} - {a^2} = 0\)

\(\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - \left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 0\)

\(\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - 1} \right) = 0\)

\({a^2} + {b^2} - 1 = 0\) (do \(a \ne b\) nên \({a^2} - {b^2} \ne 0\)) hay \({a^2} + {b^2} = 1\).