Giải bài 3.10 trang 34 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

Đề bài

Không dùng MTCT, chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị là số nguyên:

a) \(\sqrt {8 + \sqrt {15} } .\sqrt {8 - \sqrt {15} } \);

b) \({\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} }  + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}\).

Lời giải chi tiết

a) \(\sqrt {8 + \sqrt {15} } .\sqrt {8 - \sqrt {15} } \)

\(= \sqrt {\left( {8 + \sqrt {15} } \right)\left( {8 - \sqrt {15} } \right)}  \)

\(= \sqrt {{8^2} - {{\left( {\sqrt {15} } \right)}^2}}  \)

\(= \sqrt {49}  = \sqrt {{7^2}}  = 7\)

Vậy biểu thức \(\sqrt {8 + \sqrt {15} } .\sqrt {8 - \sqrt {15} } \) có giá trị là số nguyên.

b) \({\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} }  + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2} \)

\(= {\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } } \right)^2} + 2\sqrt {6 - \sqrt {11} } .\sqrt {6 + \sqrt {11} }  + {\left( {\sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}\)

\( = 6 - \sqrt {11}  + 2\sqrt {\left( {6 - \sqrt {11} } \right)\left( {6 + \sqrt {11} } \right)}  + 6 + \sqrt {11}  \)

\(= 12 + 2\sqrt {{6^2} - {{\left( {\sqrt {11} } \right)}^2}}  \)

\(= 12 + 2\sqrt {25}  = 12 + 10 = 22\)

Vậy biểu thức \({\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} }  + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}\) có giá trị là số nguyên.