Giải bài 3.11 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sốngChứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi Quảng cáo
Đề bài Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi Phương pháp giải - Xem chi tiết Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) + Hai đường tiệm cận \(y = - \frac{b}{a}x\) và \(y = \frac{b}{a}x\) Lời giải chi tiết Gọi PTCT của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) Hai đường tiệm cận \({d_1}:y = - \frac{b}{a}x\) và \({d_2}:y = \frac{b}{a}x\) Lấy \(M({x_0};{y_0})\) bất kì thuộc hypebol. \(d(M,{d_1}) = \frac{{\left| {\frac{b}{a}{x_0} + {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1} }};d(M,{d_2}) = \frac{{\left| {\frac{b}{a}{x_0} - {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1} }}.\) \( \Rightarrow d(M,{d_1}).d(M,{d_2}) = \frac{{\left| {\left( {\frac{b}{a}{x_0} + {y_0}} \right)\left( {\frac{b}{a}{x_0} - {y_0}} \right)} \right|}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{\left| {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2}{x_0}^2 - {y_0}^2} \right|}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}}\) Mà \(M({x_0};{y_0})\)thuộc hypebol nên \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\) hay \({\left( {\frac{b}{a}} \right)^2}{x_0}^2 - {y_0}^2 = {b^2}\) \( \Rightarrow d(M,{d_1}).d(M,{d_2}) = \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{{a^2}.{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\) là hằng số (đpcm)
Quảng cáo
|