Bài 3.1 trang 163 SBT giải tích 12

LG câu a

a) $f(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )$ và $g(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$

Phương pháp giải:

Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết:

Hàm số $f(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )$ là một nguyên hàm của $g(x) = {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}$ vì $\left[ {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)} \right]'$ $= \dfrac{{1 + \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {1 + {x^2}}  + x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}$ $= \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$

LG câu b

b) $f(x) = {e^{\sin x}}\cos x$  và $g(x) = {e^{\sin x}}$

Phương pháp giải:

Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết:

Hàm số $g(x) = {e^{\sin x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{\sin x}}\cos x$ 

vì $\left( {{e^{\sin x}}} \right)' = \left( {\sin x} \right)'{e^{\sin x}} = \cos x{e^{\sin x}}$

LG câu c

c) $f(x) = {\sin ^2}\dfrac{1}{x}$ và $g(x) =  - \dfrac{1}{{{x^2}}}\sin \dfrac{2}{x}$

Phương pháp giải:

Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết:

Hàm số $f(x) = {\sin ^2}{1 \over x}$  là một nguyên hàm của hàm số $g(x) =  - {1 \over {{x^2}}}\sin {2 \over x}$ 

vì $\left( {{{\sin }^2}\dfrac{1}{x}} \right)' = 2\sin \dfrac{1}{x}.\left( {\sin \dfrac{1}{x}} \right)'$ $= 2\sin \dfrac{1}{x}.\left( {\dfrac{1}{x}} \right)'.\cos \dfrac{1}{x}$ $=  - \dfrac{1}{{{x^2}}}.\left( {2\sin \dfrac{1}{x}\cos \dfrac{1}{x}} \right)$ $=  - \dfrac{1}{{{x^2}}}\sin \dfrac{2}{x}$

LG câu d

d) $f(x) = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}$ và $g(x) = \sqrt {{x^2} - 2x + 2}$

Phương pháp giải:

Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết:

Hàm số $g(x) = \sqrt {{x^2} - 2x + 2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}$ vì $\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} } \right)'$ $= \dfrac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}$ $= \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}$

LG câu e

e) $f(x) = {x^2}{e^{\dfrac{1}{x}}}$  và $g(x) = (2x - 1){e^{\dfrac{1}{x}}}$

Phương pháp giải:

Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết:

Hàm số $f(x) = {x^2}{e^{{1 \over x}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x) = (2x - 1){e^{{1 \over x}}}$ vì $\left( {{x^2}{e^{\dfrac{1}{x}}}} \right)' = 2x{e^{\dfrac{1}{x}}} + {x^2}\left( {{e^{\dfrac{1}{x}}}} \right)'$ $= 2x{e^{\dfrac{1}{x}}} + {x^2}.\left( {\dfrac{1}{x}} \right)'.{e^{\dfrac{1}{x}}}$ $= 2x{e^{\dfrac{1}{x}}} + {x^2}.\left( { - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right).{e^{\dfrac{1}{x}}}$ $= 2x{e^{\dfrac{1}{x}}} - {e^{\dfrac{1}{x}}} = \left( {2x - 1} \right){e^{\dfrac{1}{x}}}$