Bài 3.4 trang 164 SBT giải tích 12

LG câu a

a) $\int {{x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}} dx$  với $x >  - 1$ (đặt $t = 1 + {x^3}$)

Phương pháp giải:

Đặt $t = u\left( x \right)$, tính $dx$ theo $dt$ thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt $t = 1 + {x^3}$$\Rightarrow dt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \dfrac{{dt}}{3}$.

Khi đó $\int {{x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}} dx = \int {\sqrt[3]{t}.\dfrac{{dt}}{3}}$ $= \dfrac{1}{3}\int {{t^{\dfrac{1}{3}}}dt}  = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{t^{\dfrac{1}{3} + 1}}}}{{\dfrac{1}{3} + 1}} + C$ $= \dfrac{1}{4}{t^{\dfrac{4}{3}}} + C = \dfrac{1}{4}{\left( {1 + {x^3}} \right)^{\dfrac{4}{3}}} + C$

LG câu b

b) $\int {x{e^{ - {x^2}}}} dx$  (đặt $t = {x^2}$)

Phương pháp giải:

Đặt $t = u\left( x \right)$, tính $dx$ theo $dt$ thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt $t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx$ $\Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}$

Khi đó $\int {x{e^{ - {x^2}}}} dx = \int {{e^{ - t}}.\dfrac{{dt}}{2}}$$=  - \dfrac{1}{2}{e^{ - t}} + C =  - \dfrac{1}{2}{e^{ - {x^2}}} + C$.

LG câu c

c) $\int {\dfrac{x}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx$   (đặt $t = 1 + {x^2}$)

Phương pháp giải:

Đặt $t = u\left( x \right)$, tính $dx$ theo $dt$ thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt $t = 1 + {x^2}$$\Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}$.

Khi đó, $\int {\dfrac{x}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx = \int {\dfrac{1}{{{t^2}}}.\dfrac{{dt}}{2}}  = \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{dt}}{{{t^2}}}}$ $=  - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{t} + C =  - \dfrac{1}{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}} + C$

LG câu d

d) $\int {\dfrac{1}{{(1 - x)\sqrt x }}} dx$ (đặt $t = \sqrt x$)

Phương pháp giải:

Đặt $t = u\left( x \right)$, tính $dx$ theo $dt$ thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt $t = \sqrt x  \Rightarrow dt = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}dx$$\Rightarrow \dfrac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2dt$ và $x = {t^2}$.

Khi đó $\int {\dfrac{1}{{(1 - x)\sqrt x }}} dx$$= \int {\dfrac{1}{{\left( {1 - {t^2}} \right)}}.2dt}  = \int {\dfrac{2}{{1 - {t^2}}}dt}$ $= \int {\left( {\dfrac{1}{{1 - t}} + \dfrac{1}{{1 + t}}} \right)dt}$

$=  - \ln \left| {1 - t} \right| + \ln \left| {1 + t} \right| + C$ $= \ln \left| {\dfrac{{1 + t}}{{1 - t}}} \right| + C$$= \ln \left| {\dfrac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}} \right| + C$.

LG câu e

e) $\int {\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x^2}}}} dx$  (đặt $t = \dfrac{1}{x}$ )

Phương pháp giải:

Đặt $t = u\left( x \right)$, tính $dx$ theo $dt$ thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt $t = \dfrac{1}{x}$$\Rightarrow dt =  - \dfrac{1}{{{x^2}}}dx \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{{x^2}}} =  - dt$.

Khi đó $\int {\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x^2}}}} dx$$= \int {\sin t.\left( { - dt} \right)}  = \int {\left( { - \sin t} \right)dt}$ $= \cos t + C = \cos \dfrac{1}{x} + C$

LG câu g

g) $\int {\dfrac{{{{(\ln x)}^2}}}{x}} dx$  (đặt $t = \ln x$)

Phương pháp giải:

Đặt $t = u\left( x \right)$, tính $dx$ theo $dt$ thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt $t = \ln x$$\Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{x}$. Khi đó

$\int {\dfrac{{{{(\ln x)}^2}}}{x}} dx = \int {{t^2}.dt}$$= \dfrac{{{t^3}}}{3} + C = \dfrac{{{{\ln }^3}x}}{3} + C$

LG câu h

h) $\int {\dfrac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}}}}} dx$   (đặt $t = \cos x$)

Phương pháp giải:

Đặt $t = u\left( x \right)$, tính $dx$ theo $dt$ thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt $t = \cos x$$\Rightarrow dt =  - \sin xdx$.

Khi đó $\int {\dfrac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}}}}} dx$$= \int {\dfrac{{ - dt}}{{\sqrt[3]{{{t^2}}}}}}  = \int { - {t^{ - \dfrac{2}{3}}}dt}$ $=  - \dfrac{{{t^{ - \dfrac{2}{3} + 1}}}}{{ - \dfrac{2}{3} + 1}} + C =  - 3{t^{\dfrac{1}{3}}} + C$ $=  - 3\sqrt[3]{t} + C =  - 3\sqrt[3]{{\cos x}} + C$.

Loigiaihay.com