Bài 3.8 trang 165 SBT giải tích 12

LG câu a

a) $F(x) = 1 - \cot \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)$

Phương pháp giải:

Lấy đạo hàm mỗi hàm số đã cho và kiểm tra.

Giải chi tiết:

$F(x) = 1 - \cot \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)$

Ta có: $F'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}$ $= \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{{1 - \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)}}$ $= \dfrac{1}{{1 + \sin x}} = f\left( x \right)$

Do đó $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$.

LG câu b

b) $G(x) = 2\tan \dfrac{x}{2}$

Phương pháp giải:

Lấy đạo hàm mỗi hàm số đã cho và kiểm tra.

Giải chi tiết:

$G'\left( x \right) = \left( {2\tan \dfrac{x}{2}} \right)'$ $= 2.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}$ $= \dfrac{2}{{1 + \cos x}} \ne f\left( x \right)$ nên $G\left( x \right)$ không là nguyên hàm của $f\left( x \right)$.

LG câu c

c) $H(x) = \ln (1 + \sin x)$

Phương pháp giải:

Lấy đạo hàm mỗi hàm số đã cho và kiểm tra.

Giải chi tiết:

$H'\left( x \right) = \left[ {\ln \left( {1 + \sin x} \right)} \right]'$ $= \dfrac{{\left( {1 + \sin x} \right)'}}{{1 + \sin x}}$ $= \dfrac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} \ne f\left( x \right)$ nên $H\left( x \right)$ không là nguyên hàm của $f\left( x \right)$.

LG câu d

d) $K(x) = 2\left( {1 - \dfrac{1}{{1 + \tan \dfrac{x}{2}}}} \right)$

Phương pháp giải:

Lấy đạo hàm mỗi hàm số đã cho và kiểm tra.

Giải chi tiết:

$K'\left( x \right) = 2\left( {1 - \dfrac{1}{{1 + \tan \dfrac{x}{2}}}} \right)'$ $=  - 2.\dfrac{{ - \left( {1 + \tan \dfrac{x}{2}} \right)'}}{{{{\left( {1 + \tan \dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}$ $= \dfrac{{2.\dfrac{1}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right)}}{{{{\left( {1 + \tan \dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}$ $= \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}.\dfrac{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}$

$= \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2} + 2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} + {{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}$ $= \dfrac{1}{{1 + \sin x}} = f\left( x \right)$.

Vậy $K\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$.

Loigiaihay.com