Bài 3.6 trang 164 SBT giải tích 12

LG câu a

a) $\int {x{{(3 - x)}^5}dx}$

Phương pháp giải:

Đổi biến $t = 3 - x$.

Giải chi tiết:

Đặt $t = 3 - x \Rightarrow dt =  - dx$.

Khi đó $\int {x{{(3 - x)}^5}dx}$ $= \int {\left( {3 - t} \right).{t^5}.\left( { - dt} \right)}$ $= \int {\left( { - 3{t^5} + {t^6}} \right)dt}$ $=  - 3.\dfrac{{{t^6}}}{6} + \dfrac{{{t^7}}}{7} + C$ $= \dfrac{{ - {{\left( {3 - x} \right)}^6}}}{2} + \dfrac{{{{\left( {3 - x} \right)}^7}}}{7} + C$

LG câu b

b) $\int {{{({2^x} - {3^x})}^2}} dx$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản $\int {{a^x}dx}  = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$.

Giải chi tiết:

Ta có: $\int {{{({2^x} - {3^x})}^2}} dx$$= \int {\left( {{2^{2x}} + {3^{2x}} - {{2.2}^x}{{.3}^x}} \right)dx}$ $= \int {{2^{2x}}dx}  + \int {{3^{2x}}dx}  - 2\int {{6^x}dx}$ $= \int {{4^x}dx}  + \int {{9^x}dx}  - 2.\int {{6^x}dx}$ $= \dfrac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + \dfrac{{{9^x}}}{{\ln 9}} - 2.\dfrac{{{6^x}}}{{\ln 6}} + C$.

LG câu c

c) $\int {x\sqrt {2 - 5x} dx}$

Phương pháp giải:

Đổi biến $t = \sqrt {2 - 5x}$.

Giải chi tiết:

Đặt $t = \sqrt {2 - 5x}  \Rightarrow {t^2} = 2 - 5x$ $\Rightarrow 2tdt =  - 5dx \Rightarrow dx =  - \dfrac{{2tdt}}{5}$

Khi đó $\int {x\sqrt {2 - 5x} dx}$ $= \int {\dfrac{{2 - {t^2}}}{5}.t.\left( {\dfrac{{ - 2tdt}}{5}} \right)}$ $=  - \dfrac{2}{{25}}\int {\left( {2{t^2} - {t^4}} \right)dt}$ $=  - \dfrac{2}{{25}}\left( {\dfrac{2}{3}{t^3} - \dfrac{{{t^5}}}{5}} \right) + C$

$=  - \dfrac{4}{{75}}{\left( {\sqrt {2 - 5x} } \right)^3} + \dfrac{2}{{125}}{\left( {\sqrt {2 - 5x} } \right)^5} + C$

LG câu d

d) $\int {\dfrac{{\ln (\cos x)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx$

Phương pháp giải:

Đặt $u = \ln (\cos x),dv = \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}$ và sử dụng công thức nguyên hàm từng phần $\int {udv}  = uv - \int {vdu}$.

Giải chi tiết:

Đặt $u = \ln (\cos x),dv = \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{ - \sin x}}{{\cos x}} =  - \tan x\\v = \tan x\end{array} \right.$

Khi đó $\int {\dfrac{{\ln (\cos x)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx$$= \tan x\ln \left( {\cos x} \right) + \int {{{\tan }^2}xdx}$

$= \tan x\ln \left( {\cos x} \right) + \int {\left( {{{\tan }^2}x + 1 - 1} \right)dx}$ $= \tan x\ln \left( {\cos x} \right) + \int {\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)dx}  + \int {dx}$

$= \tan x\ln \left( {\cos x} \right) + \tan x - x + C$ $= \tan x\left[ {\ln \left( {\cos x} \right) + 1} \right] - x + C$

LG câu e

e) $\int {\dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}} dx$

Phương pháp giải:

Đặt $u = x,dv = \dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}$ và sử dụng công thức nguyên hàm từng phần $\int {udv}  = uv - \int {vdu}$.

Giải chi tiết:

Đặt $u = x,dv = \dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \cot x\end{array} \right.$

Khi đó $\int {\dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}} dx$$=  - x\cot x + \int {\cot xdx}$ $=  - x\cot x + \int {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}dx}$ $=  - x\cot x + \int {\dfrac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{\sin x}}}$

$=  - x\cot x + \ln \left| {\sin x} \right| + C$

LG câu g

g) $\int {\dfrac{{x + 1}}{{(x - 2)(x + 3)}}dx}$

Phương pháp giải:

Tách $\dfrac{{x + 1}}{{(x - 2)(x + 3)}} = \dfrac{3}{{5(x - 2)}} + \dfrac{2}{{5(x + 3)}}$ và tính nguyên hàm theo công thức $\int {\dfrac{1}{{ax + b}}dx}  = \dfrac{{\ln \left| {ax + b} \right|}}{a} + C$.

Giải chi tiết:

Ta có  $\dfrac{{x + 1}}{{(x - 2)(x + 3)}} = \dfrac{3}{{5(x - 2)}} + \dfrac{2}{{5(x + 3)}}$

Khi đó $\int {\dfrac{{x + 1}}{{(x - 2)(x + 3)}}dx}$$= \int {\left( {\dfrac{3}{{5(x - 2)}} + \dfrac{2}{{5(x + 3)}}} \right)dx}$ $= \dfrac{3}{5}\int {\dfrac{{dx}}{{x - 2}}}  + \dfrac{2}{5}\int {\dfrac{{dx}}{{x + 3}}}$

$= \dfrac{3}{5}\ln \left| {x - 2} \right| + \dfrac{2}{5}\ln \left| {x + 3} \right| + C$ $= \dfrac{1}{5}\left[ {\ln {{\left| {x - 2} \right|}^3}{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \right] + C$

LG câu h

h) $\int {\dfrac{1}{{1 - \sqrt x }}} dx$

Phương pháp giải:

Đổi biến đặt $t = \sqrt x$.

Giải chi tiết:

Đặt $t = \sqrt x  \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt$.

Khi đó $\int {\dfrac{1}{{1 - \sqrt x }}} dx$$= \int {\dfrac{1}{{1 - t}}.2tdt}  = \int {\left( { - 2 + \dfrac{2}{{1 - t}}} \right)dx}$

$=  - 2t - 2\ln \left| {1 - t} \right| + C$ $=  - 2\sqrt x  - 2\ln \left| {1 - \sqrt x } \right| + C$

LG câu i

i) $\int {\sin 3x\cos 2xdx}$

Phương pháp giải:

Khai triển $\sin 3x.\cos 2x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin x + \sin 5x} \right)$ và tính nguyên hàm.

Giải chi tiết:

Ta có: $\sin 3x.\cos 2x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin x + \sin 5x} \right)$.

Khi đó $\int {\sin 3x\cos 2xdx}$$= \dfrac{1}{2}\int {\left( {\sin x + \sin 5x} \right)dx}$

$= \dfrac{1}{2}\left( { - \cos x - \dfrac{{\cos 5x}}{5}} \right) + C$$=  - \dfrac{1}{2}\left( {\cos x + \dfrac{1}{5}\cos 5x} \right) + C$.

Loigiaihay.com