Bài 3.5 trang 164 SBT giải tích 12

LG câu a

a) $\int {(1 - 2x){e^x}} dx$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần $\int {udv}  = uv - \int {vdu}$.

Giải chi tiết:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 1 - 2x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du =  - 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Khi đó $\int {(1 - 2x){e^x}} dx$$= \left( {1 - 2x} \right){e^x} + \int {2{e^x}dx}$ $= \left( {1 - 2x} \right){e^x} + 2{e^x} + C$$= \left( {3 - 2x} \right){e^x} + C$                                                           

LG câu b

b) $\int {x{e^{ - x}}dx}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần $\int {udv}  = uv - \int {vdu}$.

Giải chi tiết:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - {e^{ - x}}\end{array} \right.$

Khi đó $\int {x{e^{ - x}}dx}$$=  - x{e^{ - x}} + \int {{e^{ - x}}dx}$$=  - x{e^{ - x}} - {e^{ - x}} + C$$=  - \left( {1 + x} \right){e^{ - x}} + C$

LG c

c) $\int {x\ln (1 - x)dx}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần $\int {udv}  = uv - \int {vdu}$.

Giải chi tiết:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 - x} \right)\\dv = xdx\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du =  - \dfrac{1}{{1 - x}}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.$

Khi đó $\int {x\ln (1 - x)dx}$$= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 - x} \right) + \int {\dfrac{{{x^2}}}{{2\left( {1 - x} \right)}}dx}$ $= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 - x} \right) + \dfrac{1}{2}\int {\left( { - 1 - x + \dfrac{1}{{1 - x}}} \right)dx}$

$= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 - x} \right) - \dfrac{1}{2}\int {\left( {\left( {1 + x} \right) - \dfrac{1}{{1 - x}}} \right)dx}$ $= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 - x} \right) - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 - x} \right) + C$

$= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 - x} \right) - \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 - x} \right) - \dfrac{1}{4}{\left( {1 + x} \right)^2} + C$.

LG d

d)  $\int {x{{\sin }^2}xdx}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần $\int {udv}  = uv - \int {vdu}$.

Giải chi tiết:

Ta có: $\int {x{{\sin }^2}xdx}  = \int {x.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}dx}$ $= \int {\left( {\dfrac{x}{2} - \dfrac{{x\cos 2x}}{2}} \right)dx}$ $= \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{1}{2}\int {x\cos 2xdx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos 2xdx\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \dfrac{{\sin 2x}}{2}\end{array} \right.$

Khi đó $\int {x\cos 2xdx}$$= \dfrac{{x\sin 2x}}{2} - \int {\dfrac{{\sin 2xdx}}{2}}$ $= \dfrac{{x\sin 2x}}{2} + \dfrac{{\cos 2x}}{4} + C$

Vậy $\int {x{{\sin }^2}xdx}$$= \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{x\sin 2x}}{2} + \dfrac{{\cos 2x}}{4} + C} \right)$$= \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{1}{4}x\sin 2x - \dfrac{1}{8}\cos 2x + D$.

Loigiaihay.com