Bài 2.46 trang 66 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là $S$, $O$ là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng $a\sqrt 2$ và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng ${60^0}$. Diện tích xung quanh ${S_{xq}}$ của hình nón và thể tích $V$ của khối nón tương ứng là:

A. ${S_{xq}} = \pi {a^2},V = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{4}$

B. ${S_{xq}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{2},V = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$

C. ${S_{xq}} = \pi {a^2}\sqrt 2 ,V = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{4}$

D. ${S_{xq}} = \pi {a^2},V = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$

Lời giải chi tiết

Gọi $A$ là một điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón.

Đường sinh $SA = a\sqrt 2$, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy $\widehat {SAO} = {60^0}$.

Tam giác $SAO$ vuông tại $O$ có:

$OA = SA\cos {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$; $SO = SA\sin {60^0}$ $= a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$

Diện tích xung quanh hình nón: ${S_{xq}} = \pi rl = \pi .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2  = \pi {a^2}$.

Thể tích $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$ $= \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$.

Chọn D.

Loigiaihay.com