Giải bài 2 trang 13 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Quảng cáo

Đề bài

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\\x - 3y = 2\\2x + y - z = 3\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\\x + 3y + 2z = 8\\3x - y + z = 4\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z =  - 2\\2x + y + 4z = 2\\x + 2y - z = 4\end{array} \right.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến đổi hệ về một hệ đơn giản hơn bằng cách:

+ Nhân hai vế của một PT với một số khác 0

+ Đổi vị trí hai phương trình của hệ

+ Cộng mỗi vế của PT (sau khi nhân) với vế tương ứn của PT khác để được PT có số ẩn ít hơn.

Quảng cáo
decumar

Lời giải chi tiết

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\quad (1)\\x - 3y = 2\quad (2)\\2x + y - z = 3\quad (3)\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (2) và (3) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\quad (1)\\3x = 6\quad \quad \quad (2.1)\\2x + y - z = 3\quad (3)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (2.1) ta có \(x = 2\)

Thay \(x = 2\) vào phương trình (1) ta được \(y = 0\)

Thay \(x = 2\) và \(y = 0\) vào phương trình (3) ta được \(z = 1\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {2;0;1} \right)\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\x + 3y + 2z = 8\;\;\quad (2)\\3x - y + z = 4\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6\;\;\quad (2.1)\\3x - y + z = 4\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (1) với -3, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6\;\;\quad (2.1)\\ - 4y - 2z =  - 2\quad \;\;\,(3.1)\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6\;\;\quad (2.1)\\2y + z = 1\quad \;\;\,(3.2)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1) và (2.1) suy ra 2 = 3 (Vô lí)

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z =  - 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad \;(2)\\x + 2y - z = 4\quad (3)\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z =  - 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad \;(2)\\2x + y + 4z = 2\quad (3.1)\end{array} \right.\)

Hai phương trình (2.1) và (3.1) giống nhau, nên có thể viết hệ phương trình thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z =  - 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad \;(2)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1), ta có \(y = x + 5z + 2\), thay vào phương trình (2) ta được \(2x + \left( {x + 5z + 2} \right) + 4z = 2 \Leftrightarrow 3x + 9z = 0 \Leftrightarrow x =  - 3z\)

Do đó \(y = 2z + 2\)

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng \(( - 3z;2z + 2;z)\) với \(z \in \mathbb{R}\).

Quảng cáo

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

close