Bài 1.96 trang 43 SBT giải tích 12

Đề bài

Xác định giá trị của tham số $m$ để phương trình $\dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} - 5 = 0$ có nghiệm duy nhất.

A. $m < \sqrt[3]{{ - 30}}$                       B. $0 < m < 1$

C. $m < 0$                               D. $m > \sqrt[3]{{ - 30}}$

Lời giải chi tiết

Xét hàm $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} - 5$ trên $\mathbb{R}$ có:

$y' = {x^2} - mx = x\left( {x - m} \right)$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = m\end{array} \right.$.

+) Nếu $m = 0$ thì $y' = {x^2} \ge 0,\forall x$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Khi đó phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm duy nhất.

+) Nếu $m \ne 0$ thì hàm số có hai điểm cực trị là ${x_1} = 0,{x_2} = m$.

Khi đó ${y_1}  = y\left( 0 \right) = \frac{1}{3}{.0^3} - \frac{1}{2}m{.0^2} - 5 =  - 5$

${y_2}  = y\left( m \right) = \frac{1}{3}.{m^3} - \frac{1}{2}m.{m^2} - 5$ $=  - \dfrac{1}{6}{m^3} - 5$.

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow$ hàm số $y = f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị sao cho ${y_{CD}}.{y_{CT}} > 0$ hay $- 5.\left( { - \dfrac{1}{6}{m^3} - 5} \right) > 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{6}{m^3} + 5 > 0$ $\Leftrightarrow {m^3} >  - 30 \Leftrightarrow m > \sqrt[3]{{ - 30}}$.

Chọn D.

Loigiaihay.com