Bài 1.92 trang 42 SBT giải tích 12

Đề bài

Xác định giá trị của tham số $m$ để phương trình $2{x^3} + 3m{x^2} - 5 = 0$ có nghiệm duy nhất.

A. $m = \sqrt[3]{5}$              B. $m < \sqrt[3]{5}$

C. $m > \sqrt[3]{5}$              D. $m \in \mathbb{R}$

Lời giải chi tiết

Xét hàm $y = 2{x^3} + 3m{x^2} - 5$ trên $\mathbb{R}$.

Hàm số xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$.

Ta có: $y' = 6{x^2} + 6mx = 6x\left( {x + m} \right)$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - m\end{array} \right.$

+) Nếu $m = 0$ thì $y' = 6{x^2} \ge 0,\forall x$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

+) Nếu $m \ne 0$ thì phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Rightarrow$ Hàm số có hai điểm cực trị.

Đẻ phương trình có nghiệm duy nhất thì đồ thị hàm số $y = 2{x^3} + 3m{x^2} - 5$ có một giao điểm duy nhất với trục hoành $\Leftrightarrow {y_{CD}}.{y_{CT}} > 0$.

Ta có: ${x_1} = 0$ $\Rightarrow {y_1} =2.0^3 +3m.0^2 -5=  - 5$

${x_2} =  - m$ $\Rightarrow {y_2} = 2.(-m)^3+3m.(-m)^2-5$ $=-2m^3+3m^3-5={m^3} - 5$.

${y_1}.{y_2} =  - 5\left( {{m^3} - 5} \right) > 0$ $\Leftrightarrow {m^3} - 5 < 0 \Leftrightarrow m < \sqrt[3]{5}$.

Vậy $m < \sqrt[3]{5}$.

Chọn B.

Loigiaihay.com