Bài 1.83 trang 41 SBT giải tích 12

Đề bài

Chứng minh rằng phương trình $3{x^5} + 15x-8 = 0$ chỉ có một nghiệm thực.

Lời giải chi tiết

Hàm số $f(x) = 3{x^5} + 15x - 8$ là hàm số liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$.

Có $y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$  nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến.

Mà $f(0) =  - 8 < 0,f(1) = 10 > 0$$\Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0$ nên tồn tại ít nhất một số ${x_0} \in (0;1)$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) = 0$, tức là phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm.

Mà hàm số đồng biến trên R nên điểm này là duy nhất.

Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất (đpcm).

Cách khác:

Hàm số $f(x) = 3{x^5} + 15x - 8$ là hàm số liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$.

Có $y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$  nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Ta có:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {3{x^5} + 15x - 8} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^5}\left( {3 + \frac{{15}}{{{x^4}}} - \frac{8}{{{x^5}}}} \right)} \right] = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3{x^5} + 15x - 8} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^5}\left( {3 + \frac{{15}}{{{x^4}}} - \frac{8}{{{x^5}}}} \right)} \right] = + \infty \end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bbt ta thấy đường thẳng y=0 luôn cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại duy nhất 1 điểm hay pt đã cho có nghiệm duy nhất.

Loigiaihay.com