Bài 1.85 trang 41 SBT giải tích 12

Đề bài

Xác định giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{{{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 1}}{{2 - x}}$ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

A. $m =  - 1$               B. $m > 1$

C. $m \in \left( { - 1;1} \right)$        D. $m \le  - \dfrac{5}{2}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y' = \dfrac{{\left( {2x + m + 1} \right)\left( {2 - x} \right) + \left[ {{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 1} \right]}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}$ $= \dfrac{{ - {x^2} + 4x + 2m + 1}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}$

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $D$ nếu và chỉ nếu $y' \le 0,\forall x \in D$ và chỉ bằng $0$ tại hữu hạn điểm.

Dễ thấy $y' = 0$ tại tối đa hai điểm nên ta cần $y' \le 0,\forall x \ne 2$

$\Leftrightarrow  - {x^2} + 4x + 2m + 1 \le 0,\forall x \ne 2$ $\Leftrightarrow \Delta ' = 4 + 2m + 1 \le 0$ $\Leftrightarrow m \le  - \dfrac{5}{2}$.

Chọn D.

Loigiaihay.com