Bài 1.82 trang 41 SBT giải tích 12

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 3}}$

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Xét sự biến thiên.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Giải chi tiết:

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$.

Có $y' = \dfrac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 3$ nên hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;3} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

Hàm số đã cho không có cực trị.

TCĐ: $x = 3$ và TCN $y = 1$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

LG b

Chứng minh rằng giao điểm $I$ của hai tiệm cận của $\left( C \right)$ là tâm đối xứng của $\left( C \right)$.

Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận.

- Viết công thức đổi tọa độ suy ra phương trình của hàm số trong hệ tọa độ mới.

Công thức tịnh tiến hệ tọa độ:

Cho điểm $I\left( {{x_0};{y_0}} \right),M\left( {x;y} \right)$ đối với hệ tọa độ $Oxy$.

Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow {OI}$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = X + {x_0}\\y = Y + {y_0}\end{array} \right.$

Khi đó điểm $I\left( {0;0} \right),M\left( {X,Y} \right)$ đối với hệ tọa độ $IXY$.

- Kiểm tra hàm số trong hệ tọa độ mới có làm hàm số lẻ hay không và kết luận.

Nếu hàm số $Y = g\left( X \right)$ là hàm số lẻ (trong hệ tọa độ mới $IXY$) thì điểm $I\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ trong hệ tọa độ $Oxy$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$.

Giải chi tiết:

Tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 3$.

Tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 1$.

Do đó, giao điểm của hai đường tiệm cận là $I\left( {3;1} \right)$.

Thực hiện phép biến đổi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = X + 3}\\{y = Y + 1}\end{array}} \right.$ ta được $Y + 1 = \dfrac{{X + 5}}{X}$$\Leftrightarrow Y = \dfrac{{X + 5}}{X} - 1 \Leftrightarrow Y = \dfrac{5}{X}$.

Vì $Y = \dfrac{5}{X}$ là hàm số lẻ nên đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số này có tâm đối xứng là gốc tọa độ $I$ của hệ tọa độ $IXY$.

Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận điểm $I\left( {3;1} \right)$ làm tâm đối xứng trong hệ tọa độ cũ.

LG c

Tìm điểm $M$ trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận ngang.

Phương pháp giải:

- Gọi điểm $M({x_0};{y_0}) \in (C)$.

- Tính khoảng cách từ $M$ đến các đường tiệm cận.

- Lập phương trình ẩn ${x_0}$, dựa vào điều kiện khoảng cách bằng nhau của đề bài.

- Giải phương trình tìm ${x_0}$ và kết luận.

Giải chi tiết:

Giả sử  $M({x_0};{y_0}) \in (C)$.

Gọi ${d_1}$ là khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng và ${d_2}$ là khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận ngang, ta có: ${d_1} = \left| {{x_0} - 3} \right|,$${d_2} = \left| {{y_0} - 1} \right| = \dfrac{5}{{|{x_0} - 3|}}$

Suy ra $\left| {{x_0} - 3} \right| = \dfrac{5}{{\left| {{x_0} - 3} \right|}}$ $\Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 3} \right)^2} = 5$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 3 = \sqrt 5 \\{x_0} - 3 =  - \sqrt 5 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3 + \sqrt 5 \\{x_0} = 3 - \sqrt 5 \end{array} \right.$

Với ${x_0} = 3 + \sqrt 5  \Rightarrow {y_0} = 1 + \sqrt 5$ nên ta có điểm $M\left( {3 + \sqrt 5 ;1 + \sqrt 5 } \right)$.

Với ${x_0} = 3 - \sqrt 5  \Rightarrow {y_0} = 1 - \sqrt 5$ nên ta có điểm $M\left( {3 - \sqrt 5 ;1 - \sqrt 5 } \right)$.

Vậy có hai điểm ${M_1}\left( {3 + \sqrt 5 ;1 + \sqrt 5 } \right)$ và ${M_2}\left( {3 - \sqrt 5 ;1 - \sqrt 5 } \right)$.

Loigiaihay.com