Bài 1.81 trang 41 SBT giải tích 12

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số.

Phương pháp giải:

Khảo sát tóm tắt:

- Tìm TXĐ.

- Xét sự biến thiên.

- Vẽ đồ thị.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Có $y' = \dfrac{{ - 9}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 2$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$ và không có cực trị.

TCĐ: $x = 2$ và TCN $y = 3$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

LG b

Viết phương trình các đường thẳng đi qua $O\left( {0;0} \right)$ và tiếp xúc với $\left( C \right)$.

Phương pháp giải:

- Viết dạng phương trình tiếp tuyến tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ theo công thức $y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$.

- Cho tiếp tuyến đi qua điểm $O\left( {0;0} \right)$ tìm ${x_0}$, từ đó suy ra ${y_0}$ và viết phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y' = \dfrac{{ - 9}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\forall x \ne 2$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là: $y-{y_0} = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x-{x_0}} \right)$

Trong đó $y'({x_0}) = \dfrac{{ - 9}}{{{{({x_0} - 2)}^2}}}$.

Khi đó $y =  - \dfrac{9}{{{{({x_0} - 2)}^2}}}(x - {x_0}) + \dfrac{{3({x_0} + 1)}}{{{x_0} - 2}}$

Tiếp tuyến đi qua $O\left( {0;0} \right)$ $\Leftrightarrow \dfrac{{9{x_0}}}{{{{({x_0} - 2)}^2}}} + \dfrac{{3({x_0} + 1)}}{{{x_0} - 2}} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{9{x_0} + 3\left( {{x_0} + 1} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} = 0\\ \Rightarrow 9{x_0} + 3\left( {{x_0} + 1} \right)\left( {{x_0} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 9{x_0} + 3\left( {x_0^2 - {x_0} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 9{x_0} + 3x_0^2 - 3{x_0} - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 3x_0^2 + 6{x_0} - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = - 1 - \sqrt 3 \Rightarrow {y_0} = \frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 }}{2}\\ {x_0} = - 1 + \sqrt 3 \Rightarrow {y_0} = \frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right. \end{array}$

+) Tại ${M_1}\left( { - 1 + \sqrt 3 ;\frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 }}{2}} \right)$ ta có phương trình tiếp tuyến: $y =  - \dfrac{3}{2}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)x$

+) Tại ${M_1}\left( { - 1 - \sqrt 3 ;\frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)$ ta có phương trình tiếp tuyến: $y =  - \dfrac{3}{2}(2 - \sqrt 3 )x$.

Chú ý:

Cách khác:

Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ có dạng $y = kx$.

Để xác định tọa độ tiếp điểm của hai đường: $y = \dfrac{{3(x + 1)}}{{x - 2}}$ và $y = kx$, ta giải hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3(x + 1)}}{{x - 2}} = kx\\ - \dfrac{9}{{{{(x - 2)}^2}}} = k\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3(x + 1)}}{{x - 2}} + \dfrac{{9x}}{{{{(x - 2)}^2}}} = 0\\ - \dfrac{9}{{{{(x - 2)}^2}}} = k\end{array} \right.$

Giải phương trình thứ nhất ta được: $x =  - 1 \pm \sqrt 3$

Thay vào phương trình thứ hai ta có: ${k_1} =  - \dfrac{3}{2}(2 + \sqrt 3 );{k_2} =  - \dfrac{3}{2}(2 - \sqrt 3 )$

Từ đó có hai phương trình tiếp tuyến là: $y =  - \dfrac{3}{2}(2 + \sqrt 3 )x$ và $y =  - \dfrac{3}{2}(2 - \sqrt 3 )x$

LG c

Tìm tất cả các điểm trên $\left( C \right)$ có tọa độ là các số nguyên.

Phương pháp giải:

- Viết lại hàm số về dạng $y = 3 + \dfrac{9}{{x - 2}}$.

- Từ điều kiện $x,y \in \mathbb{Z}$, tìm $x$ suy ra $y$ và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y = \frac{{3(x + 1)}}{{x - 2}}  = \frac{{3x + 3}}{{x - 2}} = \frac{{3x - 6 + 9}}{{x - 2}}$ $= \frac{{3x - 6}}{{x - 2}} + \frac{9}{{x - 2}}= 3 + \frac{9}{{x - 2}}$

Để $M(x,y) \in (C)$ có tọa độ nguyên thì  $\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\\dfrac{9}{{x - 2}} \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left( {x - 2} \right) \in U\left( 9 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3; \pm 9} \right\}$

$\Rightarrow x \in \left\{ {1;3; - 1;5; - 7;11} \right\}$.

Do đó, ta có $6$ điểm trên $\left( C \right)$ có tọa độ nguyên là: $\left( {1; - 6} \right),\left( {3;12} \right),\left( { - 1;0} \right),$ $\left( {5;6} \right),\left( { - 7;2} \right),\left( {11;4} \right)$.

Loigiaihay.com