Bài 1.78 trang 40 SBT giải tích 12

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Xét sự biến thiên.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Giải chi tiết:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Sự biến thiên: $y' = 3{x^2} - 6x = 3x(x - 2)$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $( - \infty ;0),(2; + \infty )$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0;{y_{CD}} = y\left( 0 \right) = 0$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2;{y_{CT}} = y\left( 2 \right) =  - 4$.

Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  \pm \infty$

Điểm uốn: $y'' = 6x - 6,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;$$y(1) =  - 2$ suy ra đồ thị có điểm uốn $I\left( {1; - 2} \right)$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

LG b

Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${x^3}-3{x^2}-m = 0\;$ có ba nghiệm phân biệt.

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008)

Phương pháp giải:

- Biến dổi phương trình về ${x^3} - 3{x^2} = m$.

- Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào số giao điểm của đồ thị hàm số vừa vẽ với đường thẳng $y = m$ và kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có: ${x^3} - 3{x^2} - m = 0$$\Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} = m$ (*)

Phương trình (*) có $3$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y = m$ cắt $\left( C \right)$ tại $3$ điểm phân biệt. Từ đó suy ra $- 4 < m < 0.$

Loigiaihay.com