Bài 1.77 trang 40 SBT giải tích 12

LG a

Xác định $a$ để hàm số luôn luôn đồng biến.

Phương pháp giải:

- Xét trường hợp $a = 1$, kiểm tra xem hàm số có luôn đồng biến hay không.

- Trường hợp $a \ne 1$, hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ nếu $y' \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y' = (a - 1){x^2} + 2ax + 3a - 2$.

+) Với $a = 1,y' = 2x + 1\;$ đổi dấu khi $x$ đi qua $- \dfrac{1}{2}$.

Hàm số không luôn luôn đồng biến.

+) Với $a \ne 1$ thì với mọi $x$ mà tại đó $y' \ge 0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 1\\ {a^2} - \left( {a - 1} \right)\left( {3a - 2} \right) \le 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 1\\ {a^2} - 3{a^2} + 3a + 2a - 2 \le 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 1\\ - 2{a^2} + 5a - 2 \le 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\\left[ \begin{array}{l}a \ge 2\\a \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow a \ge 2$

(khi $a = 2$ thì $y' = 0\;$ chỉ tại $x =  - 2$)

Vậy với $a \ge 2$ hàm số luôn luôn đồng biến.

LG b

Xác định $a$ để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng $y = 0$.

- Tìm điều kiện để phương trình đó có ba nghiệm phân biệt và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $y = 0$ có ba nghiệm phân biệt. Ta có:

$y = 0$$\Leftrightarrow  \dfrac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x=0$

$\Leftrightarrow x\left[ {\dfrac{{(a - 1){x^2}}}{3} + ax + 3a - 2} \right] = 0$

$\Leftrightarrow x\left[ {(a - 1){x^2} + 3ax + 9a - 6} \right] = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\left( {a - 1} \right){x^2} + 3ax + 9a - 6 = 0\,\left( * \right)\end{array} \right.$

$y = 0$ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 \ne 0\\\Delta  > 0\\9a-6 \ne 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 \ne 0\\9{a^2} - 4(a - 1)(9a - 6) > 0\\9a - 6 \ne 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 1\\ 9{a^2} - 4\left( {9{a^2} - 15a + 6} \right) > 0\\ 9a \ne 6 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 1\\ - 27{a^2} + 60a - 24 > 0\\ a \ne \frac{2}{3} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 1\\\dfrac{{10 - 2\sqrt 7 }}{9} < a < \dfrac{{10 + 2\sqrt 7 }}{9}\\a \ne \dfrac{2}{3}\end{array} \right.$

Vậy $a \in \left( {\dfrac{{10 - 2\sqrt 7 }}{9};\dfrac{{10 + 2\sqrt 7 }}{9}} \right)\backslash \left\{ {1;\dfrac{2}{3}} \right\}$.

LG c

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số ứng với $a = \dfrac{3}{2}$.

Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: $y = \left| {\dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}} \right|$

Phương pháp giải:

- Thay $a = \dfrac{3}{2}$ vào được hàm số cần khảo sát.

- Khảo sát tóm tắt:

+ Tìm TXĐ.

+ Xét chiều biến thiên.

+ Vẽ đồ thị.

- Dựng đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ từ đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$:

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành.

+ Lấy đối xứng phần dưới qua trục hoành và xóa phần dưới cũ đi.

Lời giải chi tiết:

Khi $a = \dfrac{3}{2}$ thì $y = \dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}$

Ta có: $y' = \dfrac{{{x^2}}}{2} + 3x + \dfrac{5}{2}$;$y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 5\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Ta có: 

$y =\left| {\dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}} \right|$ $= \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}\,neu\,\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2} \ge 0\\ - \left( {\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}} \right)\,neu\,\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2} < 0 \end{array} \right.$

Từ đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}$ ta suy ra ngay đồ thị hàm số $y = \left| {\dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}} \right|$ như sau:

Loigiaihay.com