Bài 1.76 trang 40 SBT giải tích 12

LG a

Xác định $m$ để hàm số đơn điệu trên $\mathbb{R}$. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?

Phương pháp giải:

- Tính $y'$.

- Hàm số đơn điệu trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow y'$ không đổi dấu trên $\mathbb{R}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y' =  - 3({m^2} + 5m){x^2} + 12mx + 6$

Hàm số đơn điệu trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y'$ không đổi dấu.

Ta xét các trường hợp:

+) ${m^2} + 5m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 5\end{array} \right.$

- Với $m = 0$ thì $y' = 6 > 0$ nên hàm số luôn đồng biến (thỏa mãn)

- Với $m =  - 5$ thì $y' =  - 60x + 6$ đổi dấu khi $x$ đi qua $\dfrac{1}{{10}}$ nên hàm số không đơn điệu trên $\mathbb{R}$ (loại).

+) Với ${m^2} + 5m \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne  - 5\end{array} \right.$.

Khi đó, $y'$ không đổi dấu nếu $\Delta ' = 36{m^2} + 18({m^2} + 5m) \le 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 36{m^2} + 18{m^2} + 90m \le 0\\ \Leftrightarrow 54{m^2} + 90m \le 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow 3{m^2} + 5m \le 0$$\Leftrightarrow  - \dfrac{5}{3} \le m \le 0$

Kết hợp với $m\ne 0$ ta được $- \frac{5}{3} \le m < 0$

Với $- \frac{5}{3} \le m < 0$ thì ${m^2} + 5m < 0$ nên $- 3({m^2} + 5m) > 0$

Do đó $y' > 0$ và hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Kết hợp với m = 0 ở trên ta được $- \dfrac{5}{3} \le m \le 0$ thì hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

LG b

Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đạt cực đại tại $x = 1$?

Phương pháp giải:

Hàm số đạt cực đại tại $x = {x_0}$ thì $\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

Nếu hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ thì $y'\left( 1 \right) = 0$$\Leftrightarrow  - 3{m^2} - 3m + 6 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 2\end{array} \right.$

Mặt khác, $y'' =  - 6({m^2} + 5m)x + 12m$

+) Với $m = 1\;$ thì $y'' =  - 36x + 12$. Khi đó, $y''\left( 1 \right) =  - 24 < 0$, hàm số đạt cực đại tại $x = 1$.

+) Với $m =  - 2$ thì $y'' = 36x-24$. Khi đó, $y''\left( 1 \right) = 12 > 0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$.

Vậy với $m = 1\;$ thì hàm số đạt cực đại tại $x = 1$.

Loigiaihay.com