Bài 1.59 trang 24 SBT hình học 12

Đề bài

Cho khối lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AD$. Mặt phẳng $\left( {MB'D'N} \right)$ chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi $\left( H \right)$ là khối đa diện chứa đỉnh $A$. Thể tích của khối đa diện $\left( H \right)$ bằng:

A. $\dfrac{{{a^3}}}{9}$                B. $\dfrac{{{a^3}}}{6}$

C. $\dfrac{{{a^3}}}{4}$                D. $\dfrac{{7{a^3}}}{{24}}$

Lời giải chi tiết

Kéo dài $B'M,D'N$ cắt nhau tại $S$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {B'MND'} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = B'M\\\left( {B'MND'} \right) \cap \left( {ADD'A'} \right) = D'N\\\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {ADD'A'} \right) = A'A\\B'M \cap D'N = \left\{ S \right\}\end{array} \right.$ $\Rightarrow S \in A'A$.

Lại có $\dfrac{{SA}}{{SA'}} = \dfrac{{SN}}{{SD'}} = \dfrac{{AN}}{{A'D'}} = \dfrac{1}{2}$$\Rightarrow SA = \dfrac{1}{2}SA'$ hay $A$ là trung điểm của $SA'$ hay $SA = A'A = a$.

Ta có: ${V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{AMN}}$ $= \dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{{24}}$.

${V_{S.A'B'D'}} = \dfrac{1}{3}SA'.{S_{A'B'D'}}$ $= \dfrac{1}{3}2a.\dfrac{1}{2}a.a = \dfrac{{{a^3}}}{3}$.

Vậy ${V_{AMN.A'B'D'}} = {V_{S.A'B'D'}} - {V_{S.AMN}}$ $= \dfrac{{{a^3}}}{3} - \dfrac{{{a^3}}}{{24}} = \dfrac{{7{a^3}}}{{24}}$.

Chọn D.

Loigiaihay.com