Bài 1.57 trang 24 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có mặt bên tạo với đáy một góc bằng ${60^0}$ và diện tích một mặt bên bằng $\dfrac{{{a^2}}}{2}$. Thể tích của hình chóp bằng:

A. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{9}{a^3}$                   B. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}{a^3}$

C. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}{a^3}$                   D. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^3}$

Lời giải chi tiết

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$, $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

Đặt $CD = x$. Do ${S_{SCD}} = \dfrac{{{a^2}}}{2}$ $\Rightarrow SM = \dfrac{{2{S_{SCD}}}}{{CD}} = \dfrac{{{a^2}}}{x}$

Lại có $OM \bot CD,SM \bot CD$ nên góc giữa $\left( {SCD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng $\widehat {SMO} = {60^0}$

Tam giác $SOM$ vuông tại $O$ có $OM = \dfrac{x}{2}$, $SM = \dfrac{{{a^2}}}{x}$ và $\widehat {SMO} = {60^0}$

$\Rightarrow \cos {60^0} = \dfrac{{OM}}{{SM}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{x}{2}:\dfrac{{{a^2}}}{x} \Leftrightarrow x = a$

$\Rightarrow OM = \dfrac{a}{2},SM = a$ $\Rightarrow SO = \sqrt {S{M^2} - O{M^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Vậy thể tích ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO$ $= \dfrac{1}{3}.{a^2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$.

Chọn B.

Loigiaihay.com