Bài 1.58 trang 24 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, $SA$ vuông góc với đáy, $SA = AC$. Mặt phẳng qua $A$ vuông góc với $SC$ cắt $SB,SC,SD$ lần lượt tại $B',C',D'$. Tỉ số giữa thể tích hình chóp $S.AB'C'D'$ và thể tích hình chóp $S.ABCD$ là:

A. $\dfrac{1}{6}$                 B. $\dfrac{1}{4}$

C. $\dfrac{1}{3}$                 D. $\dfrac{1}{2}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\Delta SAC$ vuông cân và $SC \bot AC'$ nên $C'$ là trung điểm của $SC$.

Gọi $I = AC \cap BD$ và $J = SI \cap AC'$.

Khi đó $J$ là trọng tâm của $\Delta SAC$.

Dễ thấy $BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC$.

Mà $SC \bot \left( {AB'C'D'} \right)$ $\Rightarrow BD// (AB'C'D')$.

Do đó $BD//B'D'$ $\Rightarrow \dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SD'}}{{SD}} = \dfrac{{SJ}}{{SI}} = \dfrac{2}{3}$.

$\Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$ $= 1.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}$

$\dfrac{{{V_{S.AD'C'}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SD'}}{{SD}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$$= 1.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{3} = \dfrac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{{V_{S.AD'C'}}}}{{{V_{S.ADC}}}}$ $= \dfrac{{{V_{S.AB'C'}} + {V_{S.AD'C'}}}}{{{V_{S.ABC}} + {V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{{V_{S.AB'C'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}$

Vậy $\dfrac{{{V_{S.AB'C'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{1}{3}$.

Chọn C.

Loigiaihay.com