Bài 1.56 trang 23 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông ở $A$ và $D$, cạnh đáy $AB = a$, cạnh đáy $CD = 2a$, $AD = a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên đáy trùng với trung điểm của $CD$. Biết rằng diện tích mặt bên $\left( {SBC} \right)$ bằng $\dfrac{{3{a^2}}}{2}$. Thể tích của hình chóp $S.ABCD$ bằng:

A. ${a^3}$                   B. $\dfrac{{3{a^3}}}{2}$

C. $3{a^3}$                 D. $3\sqrt 2 {a^3}$

Lời giải chi tiết

Gọi $H$ là trung điểm của $DC$ và $M$ là trung điểm của $BC$.

Ta có: $HB = AD = a,HC = HD = \frac{1}{2}DC = a$

$\Rightarrow HB = HC = a$ $\Rightarrow \Delta HBC$ vuông cân tại H.

$\Rightarrow BC = \sqrt {H{B^2} + H{C^2}}$ $= \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2$

Xét tam giác SHB và SHC có:

HB=HC

SH chung

$\widehat {SHB} = \widehat {SHC} = {90^0}$

Do đó $\Delta SHB = \Delta SHC\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow SB = SC \Rightarrow \Delta SBC$ cân tại S

$\Rightarrow SM$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao.

Lại có ${S_{SBC}} = \dfrac{{3{a^2}}}{2}$ $\Rightarrow SM = \dfrac{{2{S_{SBC}}}}{{BC}} = \dfrac{{2.\dfrac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}$.

Tam giác $SHM$ vuông tại $H$ có $HM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $SH = \sqrt {S{M^2} - H{M^2}}  = 2a$

Diện tích hình thang ${S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).AD$ $= \dfrac{1}{2}\left( {a + 2a} \right).a = \dfrac{{3{a^2}}}{2}$

Vậy thể tích ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH$ $= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3{a^2}}}{2}.2a = {a^3}$.

Chọn A.

Loigiaihay.com