Bài 1.54 trang 23 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$, hình chiếu vuông góc của $A'$ lên đáy $\left( {ABC} \right)$ trùng với trọng tâm của tam giác $ABC$ và cạnh bên tạo với đáy một góc ${60^0}$. Thể tích của hình lăng trụ là:

A. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}{a^3}$                      B. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{8}{a^3}$

C. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^3}$                      D. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^3}$

Lời giải chi tiết

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Khi đó $A'G \bot \left( {ABC} \right)$ và góc giữa $A'A$ và $\left( {ABC} \right)$ là $\widehat {A'AG} = {60^0}$.

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên ${S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ và $AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Tam giác $A'AG$ vuông tại $G$ có $AG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$ và $\widehat {A'AG} = {60^0}$ nên $A'G = AG\tan {60^0} = a$.

Vậy thể tích ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'G = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$.

Chọn C.

Loigiaihay.com