Bài 1.53 trang 23 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy. Mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SC$ cắt $SB,SC$ lần lượt tại $M,N$. Biết rằng $SA = AC = 5$, $AB = 3,BC = 4$. Thể tích khối chóp $S.AMN$ bằng

A. $\dfrac{{125}}{{68}}$                     B. $\dfrac{{125}}{{34}}$

C. $\dfrac{{175}}{{34}}$                     D. $\dfrac{{125}}{{17}}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $SC \bot \left( {AMN} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SC \bot AM\\SC \bot MN\end{array} \right.$.

Tam giác $ABC$ có:

$A{C^2} =5^2=25$

$A{B^2} + B{C^2}=3^2+4^2=25$

nên $AC^2=AB^2+BC^2$ hay tam giác ABC vuông tại $B$.

Suy ra $AB \bot BC$, mà $SA \bot BC$ nên $BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB$.

Xét tam giác SMN và SCB có: $\widehat {SNM} = \widehat {SBC} = {90^0}$ và chung góc S

$\Rightarrow \Delta SMN \backsim \Delta SCB\left( {g - g} \right)$ $\Rightarrow \dfrac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SCB}}}} = {\left( {\dfrac{{SN}}{{SB}}} \right)^2}$

Tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$ có $AN \bot SC$ $\Rightarrow SN = \dfrac{1}{2}SC = \dfrac{1}{2}\sqrt {{5^2} + {5^2}}  = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}$.

Tam giác $SAB$ có $SA = 5,AB = 3 \Rightarrow SB = \sqrt {34}$

$\Rightarrow \dfrac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SCB}}}} = {\left( {\dfrac{{SN}}{{SB}}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{68}}$$\Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{25}}{{68}}$.

Mà ${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}}$ $= \dfrac{1}{3}.5.\dfrac{1}{2}.3.4 = 10$ nên ${V_{S.AMN}} = \dfrac{{25}}{{68}}.10 = \dfrac{{125}}{{34}}$.

Chọn B.

Loigiaihay.com