Bài 1.52 trang 23 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$. Thể tích của hình chóp bằng:

A. $\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}$                      B. $\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{9}$

C. $\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{8}$                       D. $\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{6}$

Lời giải chi tiết

Gọi $O$ là tâm đáy, $E$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là hình chiếu của $O$ trên $SE$.

Dễ thấy $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)$ (vì $AC = 2OC$) nên $d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}$.

Lại có $BC \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow BC \bot OH$, mà $OH \bot SE$ nên $OH \bot \left( {SBC} \right)$.

Do đó $d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}$.

Tam giác $SOE$ vuông tại $O$ có $OE = \dfrac{a}{2},OH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}$ nên:

$\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{E^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}}$ $\Rightarrow SO = \dfrac{{OE.OH}}{{\sqrt {O{E^2} - O{H^2}} }}$ $= \dfrac{{\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{6{a^2}}}{{36}}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Thể tích khối chóp $V = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}$ $= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$.

Chọn D.

Loigiaihay.com