Bài 1.51 trang 23 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, diện tích một mặt bên bằng $\dfrac{{5\sqrt 3 {a^2}}}{{12}}$. Thể tích của hình chóp bằng:

A. $\dfrac{{\sqrt 6 }}{{24}}{a^3}$                  B. $\dfrac{{\sqrt 6 }}{{12}}{a^3}$

C. $\dfrac{{\sqrt 6 }}{4}{a^3}$                  D. $\dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}{a^3}$

Lời giải chi tiết

Tam giác $ABC$ đều có ${S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ và $CN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$ $\Rightarrow ON = \dfrac{1}{3}CN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$.

Tam giác $SAB$ có ${S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}AB.SN$ $\Rightarrow SN = \dfrac{{2{S_{SAB}}}}{{AB}} = \dfrac{{2.\dfrac{{5\sqrt 3 {a^2}}}{{12}}}}{a} = \dfrac{{5\sqrt 3 a}}{6}$.

Tam giác $SON$ vuông tại $O$ có $SO = \sqrt {S{N^2} - O{N^2}}$ $= \sqrt {\dfrac{{75{a^2}}}{{36}} - \dfrac{{3{a^2}}}{{36}}}  = a\sqrt 2$

Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABC}}$ $= \dfrac{1}{3}.a\sqrt 2 .\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$.

Chọn B.

Loigiaihay.com