Bài 1.50 trang 22 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và khoảng cách từ trọng tâm tam giác $ABC$ đến mặt bên $\left( {SAB} \right)$ bằng $\dfrac{a}{4}$. Thể tích của hình chóp bằng:

A. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{{24}}{a^3}$               B. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{{16}}{a^3}$

C. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}{a^3}$              D. $\dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}{a^3}$

Lời giải chi tiết

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$, $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $P$ là hình chiếu của $O$ lên $AN$.

Dễ thấy $SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot AB$, mà $AB \bot CN$ nên $AB \bot \left( {SNC} \right) \Rightarrow AB \bot OP$.

Lại có $OP \bot SN$ nên $OP \bot \left( {SAB} \right)$ hay $d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = OP = \dfrac{a}{4}$.

Ta có: $CN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$ $\Rightarrow ON = \dfrac{1}{3}CN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$.

Tam giác $SON$ vuông tại $O$ có $\dfrac{1}{{O{P^2}}} = \dfrac{1}{{O{N^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{{16}}{{{a^2}}} = \dfrac{{36}}{{3{a^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow SO = \dfrac{a}{2}$.

Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

Thể tích khôi chóp ${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABC}}$ $= \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$.

Chọn A.

Loigiaihay.com