Bài 1.34 trang 20 SBT hình học 12

Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi ${h_A},{h_B},{h_C},{h_D}\;$ lần lượt là các đường cao của tứ diện xuất phát từ A, B, C, D và r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện. Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{{{h_A}}} + \dfrac{1}{{{h_B}}} + \dfrac{1}{{{h_C}}} + \dfrac{1}{{{h_D}}} = \dfrac{1}{r}$

Lời giải chi tiết

Gọi $I$ là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện, $V$là thể tích tứ diện.

Ta có ${V_{I.BCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{BCD}}.r$; ${V_{I.CDA}} = \dfrac{1}{3}{S_{CDA}}.r$; ${V_{I.DAB}} = \dfrac{1}{3}{S_{DAB}}.r$; ${V_{I.ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.r$

$V = {V_{IBCD}} + {V_{ICDA}} + {V_{IDAB}} + {V_{IABC}}$

$\Rightarrow \frac{V}{V} = \frac{{{V_{IBCD}} + {V_{ICDA}} + {V_{IDAB}} + {V_{IABC}}}}{V}$

$\Rightarrow 1 = \dfrac{{{V_{IBCD}}}}{V} + \dfrac{{{V_{ICDA}}}}{V} + \dfrac{{{V_{IDAB}}}}{V} + \dfrac{{{V_{IABC}}}}{V}$

$= \dfrac{{\dfrac{1}{3}r{S_{BCD}}}}{{\dfrac{1}{3}{h_A}{S_{BCD}}}} + \dfrac{{\dfrac{1}{3}r{S_{CDA}}}}{{\dfrac{1}{3}{h_B}{S_{CDA}}}}$ $+ \dfrac{{\dfrac{1}{3}r{S_{DAB}}}}{{\dfrac{1}{3}{h_C}{S_{DAB}}}} + \dfrac{{\dfrac{1}{3}r{S_{ABC}}}}{{\dfrac{1}{3}{h_D}{S_{ABC}}}}$

$= r\left( {\dfrac{1}{{{h_A}}} + \dfrac{1}{{{h_B}}} + \dfrac{1}{{{h_C}}} + \dfrac{1}{{{h_D}}}} \right)$

$\Rightarrow 1 = r\left( {\frac{1}{{{h_A}}} + \frac{1}{{{h_B}}} + \frac{1}{{{h_C}}} + \frac{1}{{{h_D}}}} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{1}{r} = \dfrac{1}{{{h_A}}} + \dfrac{1}{{{h_B}}} + \dfrac{1}{{{h_C}}} + \dfrac{1}{{{h_D}}}$ (đpcm).

Loigiaihay.com