Bài 1.30 trang 20 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác vuông cân ở $C$. Cạnh $B’B = a$ và tạo với đáy một góc bằng ${60^0}$. Hình chiếu vuông góc hạ từ $B’$ lên đáy trùng với trọng tâm của tam giác $ABC$. Tính thể tích khối lăng trụ đó theo $a$.

Lời giải chi tiết

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, khi đó $\widehat {B'BG} = {60^0}$

$\Rightarrow B'G = BB'\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},$ $BG = BB'\cos {60^0} = \dfrac{a}{2}$.

Gọi $D$ là trung điểm của $AC$, khi đó $BD = \dfrac{3}{2}BG = \dfrac{{3a}}{4}$.

Ta có $B{C^2} + C{D^2} = B{D^2}$, do đó $B{C^2} + \dfrac{{B{C^2}}}{4} = \dfrac{{5B{C^2}}}{4} = \dfrac{{9{a^2}}}{{16}}$

Suy ra $B{C^2} = \dfrac{9}{{20}}{a^2},{S_{ABC}} = \dfrac{{B{C^2}}}{2} = \dfrac{9}{{40}}{a^2}$; ${V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{9{a^2}}}{{40}} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{80}}{a^3}$

Loigiaihay.com