Bài 1.32 trang 20 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$ chéo nhau, $AC$ là đường vuông góc chung của chúng. Biết rằng $AC = h, AB = a, CD = b$ và góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng ${60^0}$. Hãy tính thể tích của khối tứ diện $ABCD$.

Lời giải chi tiết

Dựng hình hình bình hành $CDBE$ và $ABDF$.

Khi đó, $ABE.FDC$ là hình lăng trụ.

Ta có: $AC \bot CD,CD//BE$ $\Rightarrow AC \bot BE$, mà $AC \bot AB$ nên $AC \bot \left( {ABE} \right)$.

Lại có $\widehat {\left( {AB,CD} \right)} = \widehat {\left( {AB,BE} \right)}$ $= \widehat {ABE} = {60^0}$

$\Rightarrow {S_{ABE}} = \dfrac{1}{2}AB.BE.\sin \widehat {ABE}$$= \dfrac{1}{2}ab.\sin {60^0} = \dfrac{{ab\sqrt 3 }}{4}$

$\Rightarrow {V_{C.ABE}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABE}}.AC$$= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{ab\sqrt 3 }}{4}.h = \dfrac{{abh\sqrt 3 }}{{12}}$

Từ đó suy ra ${V_{A.BCD}} = {V_{A.BCE}} = \dfrac{{abh\sqrt 3 }}{{12}}$.

Loigiaihay.com