Bài 1.33 trang 20 SBT hình học 12

Đề bài

Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $(H)$ là hình bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện đều đó. Tính tỉ số $\dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{ABCD}}}}$.

Lời giải chi tiết

Gọi cạnh của tứ diện đều là $a$ thì cạnh của hình bát diện đều $\left( H \right)$ là $\dfrac{a}{2}$.

+) Tính thể tích tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$.

Gọi $E$ là trung điểm của $BC$ và $F$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Khi đó ${S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ và $DF = \sqrt {D{A^2} - A{F^2}}$ $= \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$

$\Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.DF$$= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$.

+) Tính thể tích khối bát diện đều cạnh $\dfrac{a}{2}$.

Xét bát diện đều $SABCDS'$ có cạnh $\dfrac{a}{2}$.

Thể tích khối bát diện đều ${V_{\left( H \right)}} = 2{V_{S.ABCD}}$

Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC = BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$$\Rightarrow OA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}$

$SO \bot \left( {ABCD} \right)$$\Rightarrow SO \bot OA$ $\Rightarrow \Delta SOA$ vuông tại $O$

$\Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}$$= \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}$

$\Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}$$= \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}.{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}$

$\Rightarrow {V_{\left( H \right)}} = 2.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}$

Vậy $\dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{2}$.

Loigiaihay.com