Bài 1.32 trang 17 SBT giải tích 12

Đề bài

Xác định giá trị của tham số $m$ để hàm số sau có cực trị: $y = {x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 3\left( {m + 3} \right)x - 5$

A. $m  \ge 0$                B. $m \in \mathbb{R}$

C. $m < 0$               D. $m \in \left[ { - 5;5} \right]$

Lời giải chi tiết

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y' = 3{x^2} - 6\left( {m - 1} \right)x - 3\left( {m + 3} \right)$.

Hàm số có cực trị nếu đạo hàm đổi dấu trên $\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 3{x^2} - 6\left( {m - 1} \right)x - 3\left( {m + 3} \right) = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta ' = 9{\left( {m - 1} \right)^2} + 9\left( {m + 3} \right) > 0$ $\Leftrightarrow 9\left( {{m^2} - m + 4} \right) > 0$ (luôn đúng với $\forall m$)

(Vì ${m^2} - m + 4 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0$ với mọi m)

Vậy với mọi $m \in \mathbb{R}$ thì hàm số luôn có cực trị.

Chú ý:

Cũng có thể giải thích ${m^2} - m + 4 > 0,\forall m$ bằng cách tính ${\Delta _m} = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.4 =  - 15 < 0$

Chọn B.

Loigiaihay.com