Giải bài 10 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạoCho hình thang cân có đáy nhỏ và hai cạnh bên bằng nhau và bằng 5. Tìm diện tích lớn nhất của hình thang cân đó. Quảng cáo
Đề bài Cho hình thang cân có đáy nhỏ và hai cạnh bên bằng nhau và bằng 5. Tìm diện tích lớn nhất của hình thang cân đó. Phương pháp giải - Xem chi tiết Sử dụng công thức tính diện tích hình thang để tính diện tích \(S\left( x \right)\), sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(S\left( x \right)\). Lời giải chi tiết Xét hình thang cân \(ABCD\) có đáy nhỏ \(AB\), gọi \(H,K\) lần lượt là chân đường cao kẻ từ \(A\) và \(B\) xuống \(CD\). Ta có: \(C{\rm{D}} = 5 + 2{\rm{x}},AH = \sqrt {A{{\rm{D}}^2} - D{H^2}} = \sqrt {{5^2} - {x^2}} = \sqrt {25 - {x^2}} \) Diện tích hình thang là: \(S = \frac{1}{2}\left( {AB + C{\rm{D}}} \right).AH = \frac{1}{2}\left( {5 + 5 + 2{\rm{x}}} \right).\sqrt {25 - {x^2}} = \left( {5 + {\rm{x}}} \right).\sqrt {25 - {x^2}} \) Do \(DH < AD\) nên \({\rm{x}} < 5\). Xét hàm số \(S\left( x \right) = \left( {5 + {\rm{x}}} \right).\sqrt {25 - {x^2}} \) trên nửa khoảng \(\left[ {0;5} \right)\). Ta có: \(S'\left( x \right) = {\left( {5 + {\rm{x}}} \right)^\prime }.\sqrt {25 - {x^2}} + \left( {5 + {\rm{x}}} \right).{\left( {\sqrt {25 - {x^2}} } \right)^\prime } = \sqrt {25 - {x^2}} + \left( {5 + {\rm{x}}} \right).\frac{{ - {\rm{x}}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} - 5x + 25}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\) \(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\) hoặc \(x = - 5\) (loại) Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \(\left[ {0;5} \right)\): Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right)} S\left( x \right) = S\left( {\frac{5}{2}} \right) = \frac{{75\sqrt 3 }}{4}\). Vậy hình thang cân \(ABCD\) có diện tích lớn nhất bằng \(\frac{{75\sqrt 3 }}{4}\).
Quảng cáo
|