Giải bài 1 trang 55 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hypebol (H) $\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1$

a) Tìm tâm sai và bán kính qua tiêu của điểm $M\left( {13;\frac{{25}}{{12}}} \right)$ trên (H).

b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

c) Tìm điểm $N(x;y) \in (H)$ sao cho $N{F_1} = 2N{F_2}$ với ${F_1},{F_2}$ là hai tiêu điểm của (H).

Lời giải chi tiết

a) Ta có $a = 12,b = 5 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 13;e = \frac{c}{a} = \frac{{13}}{{12}}$

Bán kính qua tiêu của $M\left( {13;\frac{{25}}{{12}}} \right)$ là $M{F_1} = \left| {a + ex} \right| = \left| {12 + \frac{{13}}{{12}}.13} \right| = \frac{{313}}{{12}},\;M{F_2} = \left| {a - ex} \right| = \left| {12 - \frac{{13}}{{12}}.13} \right| = \frac{{25}}{{12}}.$

b) Ứng với tiêu điểm ${F_1}( - 13;0)$, có đường chuẩn ${\Delta _1}:x + \frac{{144}}{{13}} = 0$

Ứng với tiêu điểm ${F_2}(13;0)$, có đường chuẩn ${\Delta _2}:x - \frac{{144}}{{13}} = 0$

c) Để $N{F_1} = 2N{F_2} \Leftrightarrow \left| {a + e{x_N}} \right| = 2\left| {a - e{x_N}} \right|$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + e{x_N} = 2\left( {a - e{x_N}} \right) \Leftrightarrow {x_N} = \frac{a}{{3e}} = \frac{{48}}{{13}} < a\;(L)\\a + e{x_N} =  - 2\left( {a - e{x_N}} \right) \Leftrightarrow {x_N} = \frac{{3a}}{e} = \frac{{432}}{{13}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow {y_N} =  \pm \frac{{35\sqrt {23} }}{{13}}\end{array}$

Vậy $N\left( {\frac{{432}}{{13}};\frac{{35\sqrt {23} }}{{13}}} \right)$ hoặc $N\left( {\frac{{432}}{{13}}; - \frac{{35\sqrt {23} }}{{13}}} \right)$