Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo - Đề số 2

Tải về

Tải về đề thi và đáp án Tải về đề thi Tải về đáp án
Làm đề thi

Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Chọn đáp án đúng

Đề bài

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Chọn đáp án đúng

  • A
    \(\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \).
  • B
    \(\cos \left( { - \alpha } \right) = 2\cos \alpha \).    
  • C
    \(\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos 2\alpha \).
  • D
    \(\cos \left( { - 2\alpha } \right) = \cos \alpha \).
Câu 2 :

Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo \(\alpha \) rad thì có độ dài là:

  • A
    \(l = 2R\alpha \).
  • B
    \(l = \frac{{R\alpha }}{2}\).    
  • C
    \(l = R\alpha \).
  • D
    \(l = 3R\alpha \).
Câu 3 :

Nghiệm của phương trình \(\cos x = 1\) là:

  • A
    \(x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • B
    \(x = \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).    
  • C
    \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • D
    \(x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Câu 4 :

Hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên:

  • A
    Mỗi đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right],k \in \mathbb{Z}\).
  • B
    Mỗi khoảng \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right),k \in \mathbb{Z}\).    
  • C
    Mỗi đoạn \(\left[ { - \pi  + k\pi ;\pi  + k\pi } \right],k \in \mathbb{Z}\).
  • D
    Mỗi khoảng \(\left( { - \pi  + k\pi ;\pi  + k\pi } \right),k \in \mathbb{Z}\).
Câu 5 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\).
  • B
    \(\sin a - \sin b = \cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\).    
  • C
    \(\sin a - \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\).
  • D
    \(\sin a - \sin b = \sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\).
Câu 6 :

Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?

  • A
    1; 4; 5; 7; …
  • B
    4; 3; 2; 0; …
  • C
    1; 2; 1; 4; …
  • D
    8; 6; 1; 3; …
Câu 7 :

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

  • A
    1; 4; 9; 13; 17; …
  • B
    1; 3; 5; 7; 9; ….    
  • C
    1; 2; 4; 8; 16; ….
  • D
    2; 4; 6; 8; 10; ….
Câu 8 :

Dãy số nào dưới đây được viết dưới dạng hệ thức truy hồi?

  • A
    1; 3; 7; 9; 11; ...
  • B
    Dãy số gồm các số nguyên âm chia hết cho 2.    
  • C
    \({u_1} = 1;\;{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 1\) với \(n \ge 2\).
  • D
    \({u_n} = \frac{1}{{n + 2}}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).
Câu 9 :

Biết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = a < 0\). Chọn đáp án đúng

  • A
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} =  + \infty \).
  • B
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} =  - \infty \).    
  • C
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} = 0\).
  • D
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} = a\).
Câu 10 :

Cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội q, số hạng đầu \({u_1}\) thì có tổng là:

  • A
    \(S = \frac{{2{u_1}}}{{1 - q}}\).
  • B
    \(S = \frac{{{u_1}}}{{2\left( {1 - q} \right)}}\).    
  • C
    \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 + q}}\).
  • D
    \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).
Câu 11 :

Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) bằng:

  • A
    1.
  • B
    0.    
  • C
    2.
  • D
    4.
Câu 12 :

Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{3}} \left( {3x + 2} \right)\) là:

  • A
    3.
  • B
    2.    
  • C
    \( - 2\).
  • D
    \( + \infty \).
Câu 13 :

Chọn đáp án đúng.

  • A
    Có hai mặt phẳng phân biệt cùng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
  • B
    Có vô số mặt phẳng phân biệt cùng đi qua ba điểm không thẳng hàng.    
  • C
    Có một mặt phẳng phân biệt cùng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
  • D
    Có một mặt phẳng phân biệt cùng đi qua ba điểm phân biệt.
Câu 14 :

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD được gọi là hình gì?

  • A
    Hình tứ diện.
  • B
    Hình tứ giác.    
  • C
    Hình chóp tứ giác.
  • D
    Hình lăng trụ tam giác.
Câu 15 :

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có bao nhiêu đường thẳng song song với đường thẳng đã cho?

  • A
    1.
  • B
    2.    
  • C
    4.
  • D
    3.
Câu 16 :

Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Hình hộp này có bao nhiêu đường chéo?

  • A
    6.
  • B
    5.    
  • C
    4.
  • D
    3.
Câu 17 :

Chọn đáp án đúng.

  • A
    Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng.
  • B
    Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đoạn thẳng.    
  • C
    Phép chiếu song song biến đường thẳng thành tia.
  • D
    Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đường thẳng.
Câu 18 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.
  • B
    Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.    
  • C
    Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì chúng cắt nhau
  • D
    Cả A, B, C đều sai.
Câu 19 :

Giá trị của biểu thức \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \sin \left( {\pi  - \alpha } \right)\) bằng:

  • A
    \( - 1\).
  • B
    1.    
  • C
    3.
  • D
    0.
Câu 20 :

Cho tam giác ABC. Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\cot A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\).
  • B
    \(\tan A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\).    
  • C
    \(\sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\).
  • D
    \(\cos A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\).
Câu 21 :

Nghiệm của phương trình \(\sin x\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) là:

  • A
    \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • B
    \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).    
  • C
    \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • D
    \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Câu 22 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi: \(u\left( n \right) = \frac{1}{{{n^2} + 2n + 4}}\). Giá trị của \({u_6} - {u_3}\) là:

  • A
    \(\frac{{ - 31}}{{988}}\).
  • B
    \(\frac{{ - 33}}{{988}}\).    
  • C
    \(\frac{{ - 33}}{{989}}\).
  • D
    \(\frac{{ - 31}}{{989}}\).
Câu 23 :

Cho cấp số cộng 3; 7; 11; 15; … Số hạng thứ 15 của cấp số cộng trên là:

  • A
    55.
  • B
    57.    
  • C
    59
  • D
    61.
Câu 24 :

Cho cấp số nhân 2; 6; 18; … Số 39 366 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên?

  • A
    10.
  • B
    9.    
  • C
    16.
  • D
    12.
Câu 25 :

Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{2x - 16}}{{x - 4}}\) là:

  • A
    4.
  • B
    0.    
  • C
    \( - \infty \).
  • D
    \( + \infty \).
Câu 26 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{n^2} - 4n} \right) = 1\).
  • B
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{n^2} - 4n} \right) =  + \infty \).    
  • C
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{n^2} - 4n} \right) =  - \infty \).
  • D
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{n^2} - 4n} \right) = 0\).
Câu 27 :

Tính tổng sau: \(S = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{27}} + ... + {\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)^{n - 1}} + ...\)

  • A
    \(S = \frac{1}{4}\).
  • B
    \(S = \frac{1}{3}\).    
  • C
    \(S = \frac{3}{4}\).
  • D
    \(S = \frac{2}{3}\).
Câu 28 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SC. Chọn khẳng định đúng.

  • A
    IJ // (ABCD).
  • B
    IJ // (SBD).    
  • C
    IJ // (SAB).
  • D
    Cả A, B, C đều sai.
Câu 29 :

Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm thuộc cạnh AD sao cho \(JA = 3JD\). Giao điểm của đường thẳng IJ và mặt phẳng (BDC) là:

  • A
    Giao điểm của IJ và BC.
  • B
    Giao điểm của IJ và DC.    
  • C
    Giao điểm của IJ và AB.
  • D
    Giao điểm của IJ và DB.
Câu 30 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, M là trung điểm của SD. Gọi I là điểm thuộc cạnh AB sao cho \(BI = \frac{1}{2}AI\). Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IOM) là:

  • A
    Đường thẳng qua S song song với MO.
  • B
    Đường thẳng qua I song song với MO.    
  • C
    Đường thẳng qua S vuông góc với MO.
  • D
    Đường thẳng qua I vuông góc với MO.
Câu 31 :

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến \(\Delta \). Hai đường thẳng p và q lần lượt nằm trong (P) và (Q). Trong các đáp án sau, đáp án nào đúng?

  • A
    p và q cắt nhau.
  • B
    p và q song song.    
  • C
    p và q chéo nhau.
  • D
    Cả A, B, C đều đúng.
Câu 32 :

Tìm hiểu thời gian xem ti vi trong tuần trước của một số học sinh thu được kết quả sau:

Có bao nhiêu nhóm có tần số là 5?

  • A
    1.
  • B
    2.    
  • C
    3.
  • D
    4.
Câu 33 :

Các bạn học sinh lớp 11A trả lời 40 câu hỏi trong một bài kiểm tra. Kết quả thu được ở bảng thống kê sau:

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

  • A
    \(\left[ {16;21} \right)\).
  • B
    \(\left[ {21;26} \right)\).    
  • C
    \(\left[ {26;31} \right)\).
  • D
    \(\left[ {31;36} \right)\).
Câu 34 :

Số tin nhắn của một người nhận được mỗi ngày được lựa chọn ngẫu nhiên và được thống kê bởi bảng sau:

Tìm trung vị của mẫu số liệu này?

  • A
    7,73.
  • B
    8,73.    
  • C
    7,5.
  • D
    8,5.
Câu 35 :

Chiều cao của 50 học sinh lớp 11A được cho bởi bảng sau:

Mốt của mẫu số liệu này là:

  • A
    154,18cm.
  • B
    151,18cm.    
  • C
    152,18cm.
  • D
    153,18cm.
II. Tự luận
Câu 1 :

Tính giới hạn sau: \(I = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{2 + {2^2} + {2^2} + ... + {2^n}}}{{3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^n}}}\)
Câu 2 :

Cho tứ diện ABCD, gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm thiết diện của mặt phẳng (IJG) với tứ diện ABCD. Thiết diện là hình gì?
Câu 3 :

Biết rằng \(\cos 2A + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) + \frac{{13}}{4} \le 0\) với A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng \(\widehat B + \widehat C = {120^0}\)
Câu 4 :

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm. Người ta dựng hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có cạnh bằng \(\frac{1}{2}\) đường chéo của hình vuông ABCD; dựng hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) có cạnh bằng \(\frac{1}{2}\) đường chéo của hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) và cứ tiếp tục như vậy. Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn. Tổng diện tích tất cả các hình vuông ABCD, \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\), \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\), … bằng bao nhiêu?

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Chọn đáp án đúng

  • A
    \(\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \).
  • B
    \(\cos \left( { - \alpha } \right) = 2\cos \alpha \).    
  • C
    \(\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos 2\alpha \).
  • D
    \(\cos \left( { - 2\alpha } \right) = \cos \alpha \).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: \(\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \)

Câu 2 :

Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo \(\alpha \) rad thì có độ dài là:

  • A
    \(l = 2R\alpha \).
  • B
    \(l = \frac{{R\alpha }}{2}\).    
  • C
    \(l = R\alpha \).
  • D
    \(l = 3R\alpha \).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tính độ dài cung tròn: Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo \(\alpha \) rad thì có độ dài là \(l = R\alpha \).

Lời giải chi tiết :

Sử dụng kiến thức về tính độ dài cung tròn: Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo \(\alpha \) rad thì có độ dài là \(l = R\alpha \).

Câu 3 :

Nghiệm của phương trình \(\cos x = 1\) là:

  • A
    \(x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • B
    \(x = \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).    
  • C
    \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • D
    \(x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phương trình \(\cos x = 1\) có nghiệm là \(x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Phương trình \(\cos x = 1\) có nghiệm là \(x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Câu 4 :

Hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên:

  • A
    Mỗi đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right],k \in \mathbb{Z}\).
  • B
    Mỗi khoảng \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right),k \in \mathbb{Z}\).    
  • C
    Mỗi đoạn \(\left[ { - \pi  + k\pi ;\pi  + k\pi } \right],k \in \mathbb{Z}\).
  • D
    Mỗi khoảng \(\left( { - \pi  + k\pi ;\pi  + k\pi } \right),k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về đồng biến của hàm số lương giác: Hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right),k \in \mathbb{Z}\).

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right),k \in \mathbb{Z}\)

Câu 5 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\).
  • B
    \(\sin a - \sin b = \cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\).    
  • C
    \(\sin a - \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\).
  • D
    \(\sin a - \sin b = \sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: \(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\)

Lời giải chi tiết :

\(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\)

Câu 6 :

Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?

  • A
    1; 4; 5; 7; …
  • B
    4; 3; 2; 0; …
  • C
    1; 2; 1; 4; …
  • D
    8; 6; 1; 3; …

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về dãy số giảm: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có: \({u_{n + 1}} < {u_n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Lời giải chi tiết :

Trong các dãy số trên, chỉ có dãy số 4; 3; 2; 0; … có \(4 < 3 < 2 < 0...\) nên dãy số 4; 3; 2; 0; … là dãy số giảm

Câu 7 :

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

  • A
    1; 4; 9; 13; 17; …
  • B
    1; 3; 5; 7; 9; ….    
  • C
    1; 2; 4; 8; 16; ….
  • D
    2; 4; 6; 8; 10; ….

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về cấp số nhân: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q.

Lời giải chi tiết :

Trong các dãy số trên, chỉ có dãy số 1; 2; 4; 8; 16; …. có kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q \(\left( {q = 2} \right)\).

Câu 8 :

Dãy số nào dưới đây được viết dưới dạng hệ thức truy hồi?

  • A
    1; 3; 7; 9; 11; ...
  • B
    Dãy số gồm các số nguyên âm chia hết cho 2.    
  • C
    \({u_1} = 1;\;{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 1\) với \(n \ge 2\).
  • D
    \({u_n} = \frac{1}{{n + 2}}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về cách cho một dãy số.

Lời giải chi tiết :

Dãy số được viết dưới dạng hệ thức truy hồi là: \({u_1} = 1;\;{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 1\) với \(n \ge 2\)

Câu 9 :

Biết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = a < 0\). Chọn đáp án đúng

  • A
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} =  + \infty \).
  • B
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} =  - \infty \).    
  • C
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} = 0\).
  • D
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} = a\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc về giới hạn vô cực của dãy số: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = a < 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} =  - \infty \).

Lời giải chi tiết :

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = a < 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} =  - \infty \).

Câu 10 :

Cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội q, số hạng đầu \({u_1}\) thì có tổng là:

  • A
    \(S = \frac{{2{u_1}}}{{1 - q}}\).
  • B
    \(S = \frac{{{u_1}}}{{2\left( {1 - q} \right)}}\).    
  • C
    \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 + q}}\).
  • D
    \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội q, số hạng đầu \({u_1}\) thì có tổng là \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)

Lời giải chi tiết :

Cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội q, số hạng đầu \({u_1}\) thì có tổng là \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)

Câu 11 :

Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) bằng:

  • A
    1.
  • B
    0.    
  • C
    2.
  • D
    4.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {q^n} = 0\) với \(\left| q \right| < 1\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{2}{3} < 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0\)

Câu 12 :

Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{3}} \left( {3x + 2} \right)\) là:

  • A
    3.
  • B
    2.    
  • C
    \( - 2\).
  • D
    \( + \infty \).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\)

Lời giải chi tiết :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{3}} \left( {3x + 2} \right) = 3.\frac{1}{3} + 2 = 3\)

Câu 13 :

Chọn đáp án đúng.

  • A
    Có hai mặt phẳng phân biệt cùng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
  • B
    Có vô số mặt phẳng phân biệt cùng đi qua ba điểm không thẳng hàng.    
  • C
    Có một mặt phẳng phân biệt cùng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
  • D
    Có một mặt phẳng phân biệt cùng đi qua ba điểm phân biệt.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về cách xác định một mặt phẳng: Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định qua ba điểm không thẳng hàng.

Lời giải chi tiết :

Sử dụng kiến thức về cách xác định một mặt phẳng: Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định qua ba điểm không thẳng hàng.

Câu 14 :

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD được gọi là hình gì?

  • A
    Hình tứ diện.
  • B
    Hình tứ giác.    
  • C
    Hình chóp tứ giác.
  • D
    Hình lăng trụ tam giác.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hình tứ diện: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD được gọi là hình tứ diện.

Lời giải chi tiết :

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD được gọi là hình tứ diện.

Câu 15 :

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có bao nhiêu đường thẳng song song với đường thẳng đã cho?

  • A
    1.
  • B
    2.    
  • C
    4.
  • D
    3.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tính chất của hai đường thẳng song song: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Lời giải chi tiết :

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Câu 16 :

Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Hình hộp này có bao nhiêu đường chéo?

  • A
    6.
  • B
    5.    
  • C
    4.
  • D
    3.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hình hộp: Hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có bốn đường chéo là AC’, BD’, CA’ và DB’

Lời giải chi tiết :

Hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có bốn đường chéo là AC’, BD’, CA’ và DB’

Câu 17 :

Chọn đáp án đúng.

  • A
    Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng.
  • B
    Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đoạn thẳng.    
  • C
    Phép chiếu song song biến đường thẳng thành tia.
  • D
    Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đường thẳng.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tính chất của phép chiếu song song: Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết :

Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng.

Câu 18 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.
  • B
    Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.    
  • C
    Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì chúng cắt nhau
  • D
    Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tính chất hai đường thẳng song song: Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

Lời giải chi tiết :

Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

Câu 19 :

Giá trị của biểu thức \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \sin \left( {\pi  - \alpha } \right)\) bằng:

  • A
    \( - 1\).
  • B
    1.    
  • C
    3.
  • D
    0.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt: \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \); \(\sin \left( {\pi  - \alpha } \right) = \sin \alpha \).

Lời giải chi tiết :

\(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \sin \alpha  = \sin \alpha  - \sin \alpha  = 0\)

Câu 20 :

Cho tam giác ABC. Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\cot A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\).
  • B
    \(\tan A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\).    
  • C
    \(\sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\).
  • D
    \(\cos A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b,\sin \left( {\pi  - \alpha } \right) = \sin \alpha \)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\sin B\cos C + \sin C\cos B = \sin \left( {B + C} \right) = \sin \left[ {\pi  - \left( {B + C} \right)} \right] = \sin A\)

Câu 21 :

Nghiệm của phương trình \(\sin x\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) là:

  • A
    \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • B
    \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).    
  • C
    \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • D
    \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về cách giải phương trình \(\sin x = m\): Xét phương trình \(\sin x = m\)

+ Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm: \(x = \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \pi  - \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\), với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin \alpha  = m\)

Lời giải chi tiết :

\(\sin x\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Leftrightarrow 2\sin x\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \frac{\pi }{3}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = \pi  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Câu 22 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi: \(u\left( n \right) = \frac{1}{{{n^2} + 2n + 4}}\). Giá trị của \({u_6} - {u_3}\) là:

  • A
    \(\frac{{ - 31}}{{988}}\).
  • B
    \(\frac{{ - 33}}{{988}}\).    
  • C
    \(\frac{{ - 33}}{{989}}\).
  • D
    \(\frac{{ - 31}}{{989}}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính các giá trị \({u_6}\) và \({u_3}\) rồi tính hiệu.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({u_6} = \frac{1}{{{6^2} + 6.2 + 4}} = \frac{1}{{52}};{u_3} = \frac{1}{{{3^2} + 3.2 + 4}} = \frac{1}{{19}}\). Do đó, \({u_6} - {u_3} = \frac{1}{{52}} - \frac{1}{{19}} = \frac{{ - 33}}{{988}}\)

Câu 23 :

Cho cấp số cộng 3; 7; 11; 15; … Số hạng thứ 15 của cấp số cộng trên là:

  • A
    55.
  • B
    57.    
  • C
    59
  • D
    61.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Lời giải chi tiết :

Cấp số cộng trên có số hạng đầu \({u_1} = 3\), công sai \(d = 4\). Do đó, số hạng thứ 15 của cấp số cộng trên là:

\({u_{15}} = {u_1} + 14d = 3 + 14.4 = 59\)

Câu 24 :

Cho cấp số nhân 2; 6; 18; … Số 39 366 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên?

  • A
    10.
  • B
    9.    
  • C
    16.
  • D
    12.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\).

Lời giải chi tiết :

Cấp số nhân trên có số hạng đầu \({u_1} = 2\), công bội \(q = 3\).

Ta có: \(39\;366 = {2.3^{n - 1}} \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 19\;683 \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = {3^9} \Leftrightarrow n - 1 = 9 \Leftrightarrow n = 10\)

Câu 25 :

Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{2x - 16}}{{x - 4}}\) là:

  • A
    4.
  • B
    0.    
  • C
    \( - \infty \).
  • D
    \( + \infty \).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức tính giới hạn của thương \(\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\): Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L < 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g\left( x \right) = 0\) và \(g\left( x \right) < 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} =  + \infty \).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {2x - 16} \right) = 2.4 - 16 =  - 8 < 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {x - 4} \right) = 0\)

Với \(x \to {4^ - }\) thì \(x < 4\) nên \(x - 4 < 0\). Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{2x - 16}}{{x - 4}} =  + \infty \)

Câu 26 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{n^2} - 4n} \right) = 1\).
  • B
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{n^2} - 4n} \right) =  + \infty \).    
  • C
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{n^2} - 4n} \right) =  - \infty \).
  • D
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{n^2} - 4n} \right) = 0\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc về giới hạn vô cực của dãy số: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = a > 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} =  + \infty \).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({n^2} - 4n = {n^2}\left( {1 - \frac{4}{n}} \right)\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {n^2} =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {1 - \frac{4}{n}} \right) = 1 > 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{n^2} - 4n} \right) =  + \infty \)

Câu 27 :

Tính tổng sau: \(S = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{27}} + ... + {\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)^{n - 1}} + ...\)

  • A
    \(S = \frac{1}{4}\).
  • B
    \(S = \frac{1}{3}\).    
  • C
    \(S = \frac{3}{4}\).
  • D
    \(S = \frac{2}{3}\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội q, số hạng đầu \({u_1}\) thì có tổng là \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).

Lời giải chi tiết :

Tổng trên là cấp số nhân lùi vô hạn có \({u_1} = 1,\) công bội \(q = \frac{{ - 1}}{3}\)

Do đó, \(S = \frac{1}{{1 - \left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)}} = \frac{3}{4}\)

Câu 28 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SC. Chọn khẳng định đúng.

  • A
    IJ // (ABCD).
  • B
    IJ // (SBD).    
  • C
    IJ // (SAB).
  • D
    Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong (P) thì a song song với (P).

Lời giải chi tiết :

Vì I, J lần lượt là trung điểm của SA và SC nên IJ là đường trung bình của tam giác SAC. Do đó, IJ // AC.

Mà \(AC \subset \left( {ABCD} \right)\) nên IJ // (ABCD).

Câu 29 :

Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm thuộc cạnh AD sao cho \(JA = 3JD\). Giao điểm của đường thẳng IJ và mặt phẳng (BDC) là:

  • A
    Giao điểm của IJ và BC.
  • B
    Giao điểm của IJ và DC.    
  • C
    Giao điểm của IJ và AB.
  • D
    Giao điểm của IJ và DB.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) ta làm như sau:

+ Tìm trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đường thẳng b sao cho b cắt a tại A.

+ Khi đó, A là giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Lời giải chi tiết :

Trong mặt phẳng (ABD), gọi E là giao điểm của IJ và BD.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}E \in IJ\\E \in BD \subset \left( {CBD} \right)\end{array} \right.\) nên E là giao điểm của đường thẳng IJ và mặt phẳng (BDC).

Câu 30 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, M là trung điểm của SD. Gọi I là điểm thuộc cạnh AB sao cho \(BI = \frac{1}{2}AI\). Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IOM) là:

  • A
    Đường thẳng qua S song song với MO.
  • B
    Đường thẳng qua I song song với MO.    
  • C
    Đường thẳng qua S vuông góc với MO.
  • D
    Đường thẳng qua I vuông góc với MO.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì M, O lần lượt là trung điểm của SD, BD nên MO là đường trung bình của tam giác SBD. Do đó, OM // SB.

Mà I là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (IOM); \(OM \subset \left( {IOM} \right),SB \subset \left( {SAB} \right)\)

Nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IOM) là đường thẳng qua I và song song với OM, cắt SA tại J.

Câu 31 :

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến \(\Delta \). Hai đường thẳng p và q lần lượt nằm trong (P) và (Q). Trong các đáp án sau, đáp án nào đúng?

  • A
    p và q cắt nhau.
  • B
    p và q song song.    
  • C
    p và q chéo nhau.
  • D
    Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Ta có, p và q có thể cắt nhau, chéo nhau, song song (như hình vẽ minh họa)

Câu 32 :

Tìm hiểu thời gian xem ti vi trong tuần trước của một số học sinh thu được kết quả sau:

Có bao nhiêu nhóm có tần số là 5?

  • A
    1.
  • B
    2.    
  • C
    3.
  • D
    4.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tần số của mẫu số liệu ghép nhóm: Số giá trị của mẫu số liệu thuộc mỗi nhóm là tần số của nhóm đó.

Lời giải chi tiết :

Có hai nhóm có tần số là 5 là: nhóm \(\left[ {5;10} \right)\) và nhóm \(\left[ {20;25} \right)\)

Câu 33 :

Các bạn học sinh lớp 11A trả lời 40 câu hỏi trong một bài kiểm tra. Kết quả thu được ở bảng thống kê sau:

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

  • A
    \(\left[ {16;21} \right)\).
  • B
    \(\left[ {21;26} \right)\).    
  • C
    \(\left[ {26;31} \right)\).
  • D
    \(\left[ {31;36} \right)\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm chứa mốt của mẫu số liệu

Lời giải chi tiết :

Nhóm có tần số lớn nhất là \(\left[ {26;31} \right)\) nên nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là: \(\left[ {26;31} \right)\).

Câu 34 :

Số tin nhắn của một người nhận được mỗi ngày được lựa chọn ngẫu nhiên và được thống kê bởi bảng sau:

Tìm trung vị của mẫu số liệu này?

  • A
    7,73.
  • B
    8,73.    
  • C
    7,5.
  • D
    8,5.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

Bước 1: Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử nhóm đó là nhóm thứ p: \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\)

Bước 2: Trung vị là \({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\)

Trong đó n là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số của nhóm p. Với \(p = 1\), ta quy ước \({m_1} + ... + {m_{p - 1}} = 0\)

Lời giải chi tiết :

Cỡ mẫu: \(n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56\)

Gọi \({x_1};...;{x_{56}}\) số tin nhắn nhận được trong 56 ngày và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là \(\frac{{{x_{28}} + {x_{29}}}}{2}.\) Do 2 giá trị \({x_{28}},{x_{29}}\) thuộc nhóm \(\left[ {7;9} \right)\) nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó, \(p = 3;{a_3} = 7;{m_3} = 15;{m_1} + {m_2} = 3 + 12 = 15,{a_4} - {a_3} = 2\).

Vậy trung vị của nhóm là: \({M_e} = 7 + \frac{{\frac{{56}}{2} - 15}}{{15}}.2 \approx 8,73\)

Câu 35 :

Chiều cao của 50 học sinh lớp 11A được cho bởi bảng sau:

Mốt của mẫu số liệu này là:

  • A
    154,18cm.
  • B
    151,18cm.    
  • C
    152,18cm.
  • D
    153,18cm.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1: Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: \(\left[ {{a_j};{a_{j + 1}}} \right)\).

Bước 2: Mốt được xác định là: \({M_o} = {a_j} + \frac{{{m_j} - {m_{j - 1}}}}{{\left( {{m_j} - {m_{j - 1}}} \right) + \left( {{m_j} - {m_{j + 1}}} \right)}}.h\).

Trong đó, \({m_j}\) là tần số của nhóm j, (quy ước \({m_o} = {m_{k + 1}} = 0\)) và h là độ dài của nhóm.

Lời giải chi tiết :

Tần số lớn nhất là 14 nên nhóm chứa mốt là nhóm \(\left[ {150;155} \right)\). Ta có: \(j = 2;{a_2} = 150,{m_2} = 14\), \({m_1} = 7;{m_3} = 10,h = 5\). Do đó, \({M_o} = 150 + \frac{{14 - 7}}{{\left( {14 - 7} \right) + \left( {14 - 10} \right)}}.5 \approx 153,18\left( {cm} \right)\)

II. Tự luận
Câu 1 :

Tính giới hạn sau: \(I = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{2 + {2^2} + {2^2} + ... + {2^n}}}{{3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^n}}}\)
Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về giới hạn của của dãy số để tính: \(\lim {q^n} = 0\left( {\left| q \right| < 1} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Mẫu thức là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công bội \(q = 3\)

Do đó, \(3 + {3^2} + {3^3} + .. + {3^n} = \frac{{3\left( {{3^n} - 1} \right)}}{{3 - 1}} = \frac{3}{2}\left( {{3^n} - 1} \right)\)

Tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 2\)

Do đó, \(2 + {2^2} + {2^2} + ... + {2^n} = \frac{{2\left( {{2^n} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 2\left( {{2^n} - 1} \right)\)

Khi đó, \(I = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\frac{4}{3}.\frac{{{2^n} - 1}}{{{3^n} - 1}}} \right) = \frac{4}{3}\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{2^n} - 1}}{{{3^n} - 1}} = \frac{4}{3}\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - \frac{1}{{{3^n}}}}}{{1 - \frac{1}{{{3^n}}}}} = 0\)

Câu 2 :

Cho tứ diện ABCD, gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm thiết diện của mặt phẳng (IJG) với tứ diện ABCD. Thiết diện là hình gì?
Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ACD.

Do đó, IJ // CD. Mà \(IJ \subset \left( {GIJ} \right),CD \subset \left( {BCD} \right),\) G là điểm chung của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD).

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là Gx // CD //  IJ.

Trong (BCD), gọi E, F lần lượt là giao điểm của Gx với BD và BC.

Tứ giác IJFE có: IJ // FE nên tứ giác IJFE là hình thang.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IJ = \left( {GIJ} \right) \cap \left( {ACD} \right)\\EI = \left( {GIJ} \right) \cap \left( {ABD} \right)\\EF = \left( {GIJ} \right) \cap \left( {BCD} \right)\\FJ = \left( {GIJ} \right) \cap \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\)

Do đó, thiết diện của mặt phẳng (GIJ) với tứ diện ABCD là hình thang IJFE.

Câu 3 :

Biết rằng \(\cos 2A + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) + \frac{{13}}{4} \le 0\) với A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng \(\widehat B + \widehat C = {120^0}\)
Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: \(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x = 2{\cos ^2}x - 1\)

Lời giải chi tiết :

\(\cos 2A + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) + \frac{{13}}{4} \le 0\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}A - 1 + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2 - 4{{\sin }^2}B + 4\sin B} \right) + \frac{{13}}{4} \le 0\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}A + {\cos ^2}A + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} + 4{\sin ^2}B - 4\sin B + 1 \le \frac{3}{4}\left( * \right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \({\cos ^2}A + {\cos ^2}A + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} \ge \frac{3}{4}\left( 1 \right)\)

Mặt khác: \(4{\sin ^2}B - 4\sin B + 1 = {\left( {2\sin B - 1} \right)^2} \ge 0\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra bất đẳng thức (*) thỏa mãn khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}A = \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}}\\\sin B = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos A = \frac{1}{2}\\\sin B = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = {60^0}\\\widehat B = {30^0}\\\widehat C = {90^0}\end{array} \right.\)

Do đó, \(\widehat B + \widehat C = {120^0}\)

Câu 4 :

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm. Người ta dựng hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có cạnh bằng \(\frac{1}{2}\) đường chéo của hình vuông ABCD; dựng hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) có cạnh bằng \(\frac{1}{2}\) đường chéo của hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) và cứ tiếp tục như vậy. Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn. Tổng diện tích tất cả các hình vuông ABCD, \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\), \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\), … bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội q, số hạng đầu \({u_1}\) thì có tổng là \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({S_1} = {S_{ABCD}} = {4^2};{S_2} = {S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = {\left( {\frac{{4\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{4^2}}}{2};{S_3} = {S_{{A_2}{B_2}{C_2}{D_2}}} = {\left( {\frac{{4\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{4^2}}}{{{2^2}}}\);…

\({S_n} = {S_{{A_n}{B_n}{C_n}{D_n}}} = {4^2}.\frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\);…

Như vậy, các số \({S_1};{S_2};...;{S_n};...\) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có \({S_1} = {4^2},q = \frac{1}{2}\)

Do đó: \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ... = \frac{{{S_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{4^2}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = {2.4^2} = 32\left( {c{m^2}} \right)\)

 

Bài liên quan
close