Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo - Đề số 6Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh Phần trắc nghiệmĐề bài
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 :
Góc có số đo \({75^o}\) bằng bao nhiêu radian?
Câu 2 :
Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Giá trị của \(\cos \alpha \) là?
Câu 3 :
Giá trị lượng giác \(\sin \left( {\frac{{5\pi }}{{12}}} \right)\) bằng?
Câu 4 :
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
Câu 5 :
Nghiệm của phương trình \(\sin x = 0\) là?
Câu 6 :
Số hạng thứ 4 của dãy số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 1}\\{{u_n} = \frac{1}{{{u_{n - 1}} + 2}}}\end{array}} \right.\) là?
Câu 7 :
Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
Câu 8 :
Cho cấp số nhân 32; 16; 8; 4; 2. Công bội của cấp số nhân là?
Câu 9 :
Cho hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Lấy M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC. Đường thẳng nào sau đây không thuộc mặt phẳng (SAC)?
Câu 11 :
Nghiệm của phương trình \(\cos \left( {\frac{x}{2}} \right) = - \frac{1}{2}\) là
Câu 12 :
Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_1} = - 2\) và công sai \(d = 5\). Số 198 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?
Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1 :
Cho hàm số \(y = \sin x\). Khi đó a) \(\sin x < 0\) khi \( - \frac{\pi }{2} < x < 0\)
Đúng
Sai
b) Hàm số \(y = \sin x\) lẻ với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Đúng
Sai
c) Phương trình \(\sin x = 1\) có nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
Đúng
Sai
d) Hàm số \(y = \sin x\) có chặn dưới là 0
Đúng
Sai
Câu 2 :
Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Khi đó a) \(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Đúng
Sai
b) \(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Đúng
Sai
c) \(\tan \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
Đúng
Sai
d) \(\cot \alpha = - 2\sqrt 2 \)
Đúng
Sai
Câu 3 :
Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 3}\\{{u_{n + 1}} = 2{u_n}}\end{array}} \right.\) với \(n \ge 1\). Khi đó a) Dãy số \(({u_n})\) là dãy số giảm
Đúng
Sai
b) Dãy số \(({u_n})\) là dãy số bị chặn
Đúng
Sai
c) \({u_2} = 6\)
Đúng
Sai
d) Công thức tổng quát của \(({u_n})\) là \({u_n} = {2^{n - 1}}.3\)
Đúng
Sai
Câu 4 :
Cho hình chóp S.ABCD như hình vẽ, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD; điểm M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khi đó a) Gọi P là giao điểm của SO và MN. Khi đó, P (SBD)
Đúng
Sai
b) AC//(DMN)
Đúng
Sai
c) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) sẽ song song với đường thẳng AB
Đúng
Sai
d) MN//(ABCD)
Đúng
Sai
Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1 :
Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác \(\alpha = (Ox,OM)\) theo hàm số \({v_x} = 0,25\sin \alpha \) (m/s). Vận tốc lớn nhất của cabin là (Viết dưới dạng số thập phân)?
Đáp án:
Câu 2 :
Cho vận tốc v (cm/s) của một con lắc đơn theo thời gian t (giây) được xác định bởi công thức \(v = - 4\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{4}} \right)\) với \(0 \le t \le 2\). Xác định thời điểm vận tốc con lắc bằng 2 cm/s (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Đáp án:
Câu 3 :
Khán đài D của một sân vận động có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. hàng thứ nhất có 13 ghế, hàng thứ hai có 16 ghế, hàng thứ ba có 19 ghế,…, cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng. Số ghế ở hàng cuối cùng là? Đáp án:
Câu 4 :
Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm. Gỉa sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi. Tính số dân (đơn vị: triệu người) của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 (Làm tròn đến hàng phần trăm)? Đáp án:
Câu 5 :
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành, cạnh AB = 6 cm, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm của SO. Mặt phẳng (ICD) cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Độ dài MN là?
Đáp án:
Câu 6 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và một điểm M nằm trên cạnh AD (giữa A và D) sao cho AD = 3MD. Một mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua M, song song với CD và SA, cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. Với cạnh CD = 9 (cm) thì độ dài đoạn PQ là bao nhiêu?
Đáp án: Lời giải và đáp án
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 :
Góc có số đo \({75^o}\) bằng bao nhiêu radian?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Áp dụng quan hệ giữa radian và độ: \(1rad = {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^o}\), \({1^o} = \frac{\pi }{{180}}rad\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \({75^o} = 75.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{5\pi }}{{12}}\).
Câu 2 :
Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Giá trị của \(\cos \alpha \) là?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và sử dụng đường tròn lượng giác để xét dấu. Lời giải chi tiết :
Ta có: \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{5}{9}\), suy ra \(\cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}\). Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên điểm cuối của cung \(\alpha \) thuộc cung phần tư thứ II, do đó \(\cos \alpha < 0\). Vậy \(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Câu 3 :
Giá trị lượng giác \(\sin \left( {\frac{{5\pi }}{{12}}} \right)\) bằng?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng công thức cộng lượng giác \(\sin (a + b) = \sin a.\cos b + \sin b.\cos a\). Lời giải chi tiết :
\(\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}.\cos \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{6}.\cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4} = \frac{{\sqrt 2 (1 + \sqrt 3 )}}{4}\).
Câu 4 :
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Cho hàm số y = f(x) liên tục và xác định trên khoảng (đoạn) K. Với mỗi \(x \in K\) thì \( - x \in K\). - Nếu f(x) = f(-x) thì hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên tập xác định. - Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số y = f(x) là hàm số lẻ trên tập xác định. Lời giải chi tiết :
Xét phương án A, hàm số \(y = - \cos x\) có tập xác định D = R, suy ra có \(x \in R\) thì \( - x \in R\). Mặt khác, f(-x) = - cos(-x) = - cosx = f(x). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Câu 5 :
Nghiệm của phương trình \(\sin x = 0\) là?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. Lời giải chi tiết :
\(\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Câu 6 :
Số hạng thứ 4 của dãy số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 1}\\{{u_n} = \frac{1}{{{u_{n - 1}} + 2}}}\end{array}} \right.\) là?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Tìm lần lượt \({u_2},{u_3},{u_4}\) bằng cách thay n vào công thức tổng quát. Lời giải chi tiết :
Ta có: \({u_2} = \frac{1}{{{u_1} + 2}} = \frac{1}{{1 + 2}} = \frac{1}{3}\) \({u_3} = \frac{1}{{{u_2} + 2}} = \frac{1}{{\frac{1}{3} + 2}} = \frac{3}{7}\) \({u_4} = \frac{1}{{{u_3} + 2}} = \frac{1}{{\frac{3}{7} + 2}} = \frac{7}{{17}}\)
Câu 7 :
Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Dãy số lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi hai phần tử liên tiếp sai khác nhau một hằng số. Lời giải chi tiết :
Xét hiệu các phần tử liên tiếp trong các dãy số, chỉ có dãy ở đáp án B phần tử sau hơn phần tử liền trước 2 đơn vị (9 – 7 = 7 – 5 = 5 – 3 = 3 – 1 = 2).
Câu 8 :
Cho cấp số nhân 32; 16; 8; 4; 2. Công bội của cấp số nhân là?
Đáp án : B Phương pháp giải :
\(q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\frac{{16}}{{32}} = \frac{8}{{16}} = \frac{4}{8} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Vậy \(q = \frac{1}{2}\).
Câu 9 :
Cho hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Lấy M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC. Đường thẳng nào sau đây không thuộc mặt phẳng (SAC)?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Đường thẳng thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi tất cả các điểm trên đường thẳng thuộc mặt phẳng đó. Lời giải chi tiết :
Dễ thấy các điểm S, A, C, M, N, O đều thuộc mặt phẳng (SAC), điểm B không thuộc mặt phẳng (SAC). Suy ra BO không thuộc mặt phẳng (SAC).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Dựa vào tính chất hình hộp. Lời giải chi tiết :
Ta có: ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên: - AB//CD. - AB//C’D’ (cùng song song với CD) - AB//A’B’ - AC//A’C’, mà AC cắt AB nên A’C’ cắt AB.
Câu 11 :
Nghiệm của phương trình \(\cos \left( {\frac{x}{2}} \right) = - \frac{1}{2}\) là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Giải phương trình lượng giác \(\cos x = a\): - Nếu \(\left| a \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm. - Nếu \(\left| a \right| \le 1\) thì chọn cung \(\alpha \) sao cho \(\cos \alpha = a\). Khi đó phương trình trở thành: \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha + k2\pi }\\{x = - \alpha + k2\pi }\end{array}} \right.\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Lời giải chi tiết :
Do \(\cos \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{1}{2}\) nên \(\cos \frac{x}{2} = \cos \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{2} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{\frac{x}{2} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }\\{x = - \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
Câu 12 :
Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_1} = - 2\) và công sai \(d = 5\). Số 198 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Cấp số cộng \(({u_n})\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) thì số hạng thứ n là \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\). Lời giải chi tiết :
Gọi 198 là số hạng thứ n của dãy. Ta có: \(198 = {u_1} + (n - 1)d = - 2 + (n - 1).5 \Leftrightarrow 5n = 205 \Leftrightarrow n = 41\).
Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1 :
Cho hàm số \(y = \sin x\). Khi đó a) \(\sin x < 0\) khi \( - \frac{\pi }{2} < x < 0\)
Đúng
Sai
b) Hàm số \(y = \sin x\) lẻ với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Đúng
Sai
c) Phương trình \(\sin x = 1\) có nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
Đúng
Sai
d) Hàm số \(y = \sin x\) có chặn dưới là 0
Đúng
Sai
Đáp án
a) \(\sin x < 0\) khi \( - \frac{\pi }{2} < x < 0\)
Đúng
Sai
b) Hàm số \(y = \sin x\) lẻ với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Đúng
Sai
c) Phương trình \(\sin x = 1\) có nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
Đúng
Sai
d) Hàm số \(y = \sin x\) có chặn dưới là 0
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
a) Dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác. b) Cho hàm số y = f(x) liên tục và xác định trên khoảng (đoạn) K. Với mỗi \(x \in K\) thì \( - x \in K\). - Nếu f(x) = f(-x) thì hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên tập xác định. - Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số y = f(x) là hàm số lẻ trên tập xác định. c) Giải phương trình lượng giác \(\sin x = a\): - Nếu \(\left| a \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm. - Nếu \(\left| a \right| \le 1\) thì chọn cung \(\alpha \) sao cho \(\sin \alpha = a\). Khi đó phương trình trở thành: \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha + k2\pi }\\{x = \pi - \alpha + k2\pi }\end{array}} \right.\) với \(k \in \mathbb{Z}\). d) Xét tập giá trị của hàm số \(y = \sin x\). Lời giải chi tiết :
a) Đúng. \( - \frac{\pi }{2} < x < 0\) suy ra điểm cuối cung x thuộc góc phần tư thứ IV. Khi đó \(\sin x < 0\). b) Đúng. Tập xác định: D = R. Mặt khác, \(f( - x) = \sin ( - x) = - \sin x = - f(x)\). Vậy \(y = \sin x\) là hàm số lẻ. c) Sai. Do \(\sin \frac{\pi }{2} = 1\) nên \(\sin x = \sin \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \pi - \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) với \(k \in \mathbb{Z}\). d) Sai. Hàm số \(y = \sin x\) có chặn dưới là -1.
Câu 2 :
Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Khi đó a) \(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Đúng
Sai
b) \(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Đúng
Sai
c) \(\tan \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
Đúng
Sai
d) \(\cot \alpha = - 2\sqrt 2 \)
Đúng
Sai
Đáp án
a) \(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Đúng
Sai
b) \(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Đúng
Sai
c) \(\tan \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
Đúng
Sai
d) \(\cot \alpha = - 2\sqrt 2 \)
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
a) Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác để xét dấu. b) Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác để xét dấu. c) \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{{\cot \alpha }}\) d) \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\tan \alpha }}\) Lời giải chi tiết :
a) Sai. \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\). Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên điểm cuối của cung \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ I nên \(\cos \alpha > 0\). Vậy \(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\). b) Đúng. Từ câu a) ta tính được \(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\). c) Đúng. \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\). d) Sai. \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt 2 }}{4}}} = 2\sqrt 2 \).
Câu 3 :
Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 3}\\{{u_{n + 1}} = 2{u_n}}\end{array}} \right.\) với \(n \ge 1\). Khi đó a) Dãy số \(({u_n})\) là dãy số giảm
Đúng
Sai
b) Dãy số \(({u_n})\) là dãy số bị chặn
Đúng
Sai
c) \({u_2} = 6\)
Đúng
Sai
d) Công thức tổng quát của \(({u_n})\) là \({u_n} = {2^{n - 1}}.3\)
Đúng
Sai
Đáp án
a) Dãy số \(({u_n})\) là dãy số giảm
Đúng
Sai
b) Dãy số \(({u_n})\) là dãy số bị chặn
Đúng
Sai
c) \({u_2} = 6\)
Đúng
Sai
d) Công thức tổng quát của \(({u_n})\) là \({u_n} = {2^{n - 1}}.3\)
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
a) Dãy số \(({u_n})\) là dãy số giảm nếu \({u_n} > {u_{n + 1}}\). Dãy số \(({u_n})\) là dãy số tăng nếu \({u_n} < {u_{n + 1}}\). b) Dãy số \(({u_n})\) là dãy số bị chặn nếu \(({u_n})\) vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức tồn tại hai số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M\) \(\forall n \in \mathbb{N}*\). c) Tính \({u_2}\) bằng công thức \({u_{n + 1}} = 2{u_n}\). d) Tìm số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d. Công thức tổng quát: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\). Lời giải chi tiết :
a) Sai. Ta có: \({u_1} = 3 > 0\). Với n = 1, ta được \({u_2} = 2{u_1} = 2.3 = 6 > 0\). Giả sử n = k, ta cần chứng minh \({u_k} > 0\) thì \({u_{k + 1}} > 0\). Thật vậy, \({u_{k + 1}} = 2{u_k} > 0\) vì \({u_k} > 0\). Vậy \({u_n} > 0\) \(\forall n \ge 1\). Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2{u_n} - {u_n} = {u_n} > 0\). Suy ra \({u_n} < {u_{n + 1}}\). Vậy dãy số trên là dãy số tăng. b) Sai. Ta có: \(({u_n})\) là dãy số tăng nên \(({u_n})\) bị chặn dưới tại \({u_1} = 3\). Mặt khác, \(({u_n})\) là cấp số nhân có công bội \(q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{2{u_n}}}{{{u_n}}} = 2\) và số hạng đầu \({u_1} = 3\) nên công thức tổng quát là \({u_n} = {3.2^{n - 1}}\). Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {3.2^{n - 1}} = + \infty \) nên dãy không bị chặn trên. Vậy dãy số không bị chặn. c) Đúng. \({u_2} = 2{u_1} = 2.3 = 6\). d) Đúng. Theo câu b), công thức tổng quát là \({u_n} = {3.2^{n - 1}}\).
Câu 4 :
Cho hình chóp S.ABCD như hình vẽ, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD; điểm M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khi đó a) Gọi P là giao điểm của SO và MN. Khi đó, P (SBD)
Đúng
Sai
b) AC//(DMN)
Đúng
Sai
c) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) sẽ song song với đường thẳng AB
Đúng
Sai
d) MN//(ABCD)
Đúng
Sai
Đáp án
a) Gọi P là giao điểm của SO và MN. Khi đó, P (SBD)
Đúng
Sai
b) AC//(DMN)
Đúng
Sai
c) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) sẽ song song với đường thẳng AB
Đúng
Sai
d) MN//(ABCD)
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
Sử dụng các định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Lời giải chi tiết :
a) Đúng. Ta có: \(O \in BD \subset (SBD)\), \(S \in (SBD)\) suy ra \(SO \subset (SBD)\). Mà \(P \in SO\) nên \(P \in (SBD)\). b) Đúng. Xét \(\Delta SAC\) có MN là đường trung bình, suy ra AC//MN. Khi đó AC//(DMN). c) Sai. Vì AD//BC, S là điểm chung của (SAD) và (SBC) nên giao tuyến của hai mặt phẳng trên là đường thẳng qua S song song với AD và BC. Vậy giao tuyến đó không song song với AB. d) Đúng. Vì MN//AC nên MN//(ABCD).
Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1 :
Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác \(\alpha = (Ox,OM)\) theo hàm số \({v_x} = 0,25\sin \alpha \) (m/s). Vận tốc lớn nhất của cabin là (Viết dưới dạng số thập phân)?
Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \({v_x} = 0,25\sin \alpha \). Lời giải chi tiết :
Vì \(\sin \alpha \le 1\) nên \(0,25\sin \alpha \le 0,25\). Vậy giá trị nhỏ nhất của \({v_x} = 0,25\sin \alpha \) là 0,25 (m/s).
Câu 2 :
Cho vận tốc v (cm/s) của một con lắc đơn theo thời gian t (giây) được xác định bởi công thức \(v = - 4\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{4}} \right)\) với \(0 \le t \le 2\). Xác định thời điểm vận tốc con lắc bằng 2 cm/s (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Thay \(v = 2\) vào công thức \(v = - 4\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{4}} \right)\) và tìm t. Lời giải chi tiết :
\(2 = - 4\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow - \frac{1}{2} = \sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1,5t + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{1,5t + \frac{\pi }{4} = \frac{{7\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - \frac{\pi }{3} + k\frac{{4\pi }}{3}}\\{t = \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3}}\end{array}} \right.\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Vì \(0 \le t \le 2\) nên chỉ có 1 giá trị của t thỏa mãn là \(t = \frac{{5\pi }}{9} \approx 1,7\).
Câu 3 :
Khán đài D của một sân vận động có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. hàng thứ nhất có 13 ghế, hàng thứ hai có 16 ghế, hàng thứ ba có 19 ghế,…, cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng. Số ghế ở hàng cuối cùng là? Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Số ghế mỗi hàng ở khán đài lập thành một cấp số cộng với 20 hàng tương đương 20 số hạng. Tìm số hạng đầu, công sai từ đó tìm số hạng thứ 20. Lời giải chi tiết :
Số ghế mỗi hàng ở khán đài lập thành một cấp số cộng với 20 hàng tương đương 20 số hạng. Ta có: \({u_1} = 13,{u_2} = 16,{u_3} = 19\) nên công sai bằng \(d = {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = 3\). Số ghế hàng cuối cùng là: \({u_{20}} = 13 + (20 - 1).3 = 70\).
Câu 4 :
Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm. Gỉa sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi. Tính số dân (đơn vị: triệu người) của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 (Làm tròn đến hàng phần trăm)? Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Số dân mỗi năm lập thành môt cấp số nhân. Tìm công thức tổng quát của cấp số nhân đó và tìm số hạng thứ 10. Lời giải chi tiết :
Số dân mỗi năm lập thành môt cấp số nhân \({u_n}\) với số hạng đầu \({u_1} = 2\) triệu người và công sai \(q = 1 + 1\% = 1,01\). Khi đó, số hạng tổng quát \({u_n} = 2.1,{01^{n - 1}}\). (*) Số dân tỉnh đó sau 1 năm là \({u_2}\), sau 2 năm là \({u_3}\),... Số dân tỉnh đó sau 10 năm là \({u_{11}} = 2.1,{01^{11 - 1}} \approx 2,21\) (triệu người). Lưu ý: Đọc kĩ (*) để tránh nhầm lẫn tính \({u_{10}}\).
Câu 5 :
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành, cạnh AB = 6 cm, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm của SO. Mặt phẳng (ICD) cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Độ dài MN là?
Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Tìm giao điểm của IC với SA, ID với SB. Tìm MN theo định lý Menelaus. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in (ICD)}\\{M \in SA \subset (SAC)}\end{array}} \right.\) suy ra \(M \in (ICD) \cap (SAC)\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I \in (ICD)}\\{I \in SO \subset (SAC)}\end{array}} \right.\) suy ra \(I \in (ICD) \cap (SAC)\) \(C \in (ICD) \cap (SAC)\) Vậy, C, I, M thẳng hàng, tức M là giao điểm của IC và SA. Chứng minh tương tự, ta có N, I, D thẳng hàng, tức N là giao điểm của ID và SB. Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB = (SAB) \cap (ABCD)}\\{CD = (ICD) \cap (ABCD)}\\{MN = (SAB) \cap (ICD)}\\{AB//CD}\end{array}} \right.\). Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta được: AB//CD//MN. Áp dụng định lý Menelaus cho \(\Delta SAO\) với cát tuyến CIM, ta có: \(\frac{{SM}}{{MA}}.\frac{{AC}}{{OC}}.\frac{{OI}}{{SI}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{SM}}{{MA}}.2.1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{SM}}{{MA}} = \frac{1}{2}\). Xét \(\Delta SAB\) có MN//AB. Theo định lý Thales, ta có: \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow MN = \frac{1}{3}AB = \frac{1}{3}.6 = 2\) (cm).
Câu 6 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và một điểm M nằm trên cạnh AD (giữa A và D) sao cho AD = 3MD. Một mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua M, song song với CD và SA, cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. Với cạnh CD = 9 (cm) thì độ dài đoạn PQ là bao nhiêu?
Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Sử dụng định lý giao tuyến của ba mặt phẳng, định lý Thales. Lời giải chi tiết :
\(SA//(\alpha )\) nên SA không cắt \(QM \subset (\alpha )\). Mặt khác, SA và QM cùng thuộc mặt phẳng (SAD) nên SA//QM. Xét \(\Delta SAD\)\(\Delta SAD\) có QM//SA: \(\frac{{MD}}{{AD}} = \frac{{QD}}{{SD}} = \frac{1}{3}\), suy ra \(\frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{2}{3}\). Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{MN = (\alpha ) \cap (ABCD)}\\{CD = (ICD) \cap (ABCD)}\\{PQ = (\alpha ) \cap (ICD)}\\{MN//CD}\end{array}} \right.\). Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta được: PQ//CD//MN. Xét \(\Delta SCD\) có PQ//CD: \(\frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{2}{3}\), suy ra \(PQ = \frac{2}{3}CD = \frac{2}{3}.9 = 6\).
|
