Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo - Đề số 5

Tải về

Làm đề thi

Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Chọn đáp án đúng. Với a là số thực khác 0 thì:

Đề bài

I. Trắc nghiệm

Câu 1 :

Chọn đáp án đúng.

Với a là số thực khác 0 thì:

A
${a^0} = 0$ .
B
${a^0} = \frac{1}{a}$ .
C
${a^0} = - 1$ .
D
${a^0} = 1$ .

Câu 2 :

Cho biểu thức $P = \sqrt[6]{x}$ với $x > 0$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A
$P = {x^{\sqrt 6 }}$ .
B
$P = {x^{\frac{1}{6}}}$ .
C
$P = {x^6}$ .
D
$P = {x^{ - 6}}$ .

Câu 3 :

Chọn đáp án đúng:

A
$\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = x - 1$ .
B
$\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = x + 1$ .
C
$\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = \left| {x - 1} \right|$ .
D
$\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = - x + 1$ .

Quảng cáo

Câu 4 :

Cho a là số dương, rút gọn biểu thức $\frac{{\sqrt a .\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt[4]{a}}}$ được kết quả là:

A
$\sqrt[{12}]{{{a^{11}}}}$ .
B
$\sqrt[{121}]{a}$ .
C
$\sqrt[{11}]{{{a^{12}}}}$ .
D
$\sqrt[3]{{{a^4}}}$ .

Câu 5 :

Giả sử một lọ nuôi cấy 100 con vi khuẩn lúc ban đầu và số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi 2 giờ. Khi đó, số vi khuẩn N sau t giờ là $N = {100.2^{\frac{t}{2}}}$ (con). Sau 4 giờ 30 phút thì có bao nhiêu con vi khuẩn? (làm tròn đến hàng đơn vị).

A
474 con.
B
475 con.
C
476 con.
D
477 con.

Câu 6 :

Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để… được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là ${\log _a}b$ .

Biểu thức phù hợp để điền vào “…” được câu đúng là:

A
${a^c} = b$ .
B
${a^b} = c$ .
C
${b^a} = c$ .
D
${c^a} = b$ .

Câu 7 :

Chọn đáp án đúng.

Với $a,b > 0,a \ne 1$ thì:

A
${\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) = - \frac{1}{{{{\log }_a}b}}$ .
B
${\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) = - {\log _a}b$ .
C
${\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) = {\log _a}\left( { - b} \right)$ .
D
${\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) = - {\log _a}\left( { - b} \right)$ .

Câu 8 :

Chọn đáp án đúng:

Với n số thực dương ${b_1},{b_2},..,{b_n},a > 0,a \ne 1$ thì:

A
${\log _a}\left( {{b_1}.{b_2}...{b_n}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2} + ... + {\log _a}{b_n}$ .
B
${\log _a}\left( {{b_1}.{b_2}...{b_n}} \right) = {\log _a}{b_1}.{\log _a}{b_2}...{\log _a}{b_n}$ .
C
${\log _a}\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right) = {\log _a}{b_1}.{\log _a}{b_2}...{\log _a}{b_n}$ .
D
${\log _a}\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2} + ... + {\log _a}{b_n}$ .

Câu 9 :

Cho x và y là các số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A
${3^{\ln x + \ln y}} = {3^{\ln x}} + {3^{\ln y}}$ .
B
${3^{\ln \left( {x + y} \right)}} = {3^{\ln x}}{.3^{\ln y}}$ .
C
${3^{\ln \left( {xy} \right)}} = {3^{\ln x}}{.3^{\ln y}}$ .
D
${3^{\ln x.\ln y}} = {3^{\ln x}} + {3^{\ln y}}$ .

Câu 10 :

Giá trị của biểu thức $2{\log _5}10 + {\log _{25}}0,25$ là:

A
$\frac{1}{{{{\log }_{25}}50}}$ .
B
$\frac{1}{{{{\log }_5}50}}$ .
C
${\log _{25}}50$ .
D
${\log _5}50$ .

Câu 11 :

Hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ với giá trị nào của a dưới đây?

A
$a = \frac{1}{2}$ .
B
$a = 0,75$ .
C
$a = \frac{3}{2}$ .
D
$a = \ln 2$ .

Câu 12 :

Hàm số nào dưới đây là không phải hàm số mũ?

A
$y = {3^x}$ .
B
$y = {\left( {3x} \right)^3}$ .
C
$y = {\pi ^x}$ .
D
$y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$ .

Câu 13 :

Hàm số nào sau đây có tập xác định là $\mathbb{R}$ ?

A
$y = \ln x$ .
B
$y = \log \frac{x}{4}$ .
C
$y = {e^{5x}}$ .
D
$y = {\left( {\frac{2}{x}} \right)^5}$ .

Câu 14 :

Hàm số $y = {\log _{10}}x$ có tập giá trị là:

A
$\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ .
B
$\left( { - \infty ;0} \right)$ .
C
$\left( {0; + \infty } \right)$ .
D
$\left( { - 10;10} \right)$ .

Câu 15 :

Cho đồ thị hàm số $y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)$ có đồ thị là hình dưới đây:

Tìm a.

A
$a = 2$ .
B
$a = \sqrt 2$ .
C
$a = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ .
D
$a = \frac{1}{2}$ .

Câu 16 :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để hàm số $y = {\left( { - {a^2} + 2a + 4} \right)^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A
1.
B
2.
C
3.
D
4.

Câu 17 :

Cho bất phương trình ${6^x} > b$ . Với giá trị nào của b thì bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ ?

A
$b = 0$ .
B
$b = 1$ .
C
$b = \frac{1}{6}$ .
D
$b = 6$ .

Câu 18 :

Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{{\sqrt {15} }}} \right)^x} > \frac{1}{{\sqrt {15} }}$ là

A
$S = \left[ {1; + \infty } \right)$ .
B
$S = \left( { - \infty ;1} \right]$ .
C
$S = \left( {1; + \infty } \right)$ .
D
$S = \left( { - \infty ;1} \right)$ .

Câu 19 :

Phương trình ${3^{ - x}} = 4$ có nghiệm là:

A
$x = {\log _4}3$ .
B
$x = {\log _3}4$ .
C
$x = - {\log _3}4$ .
D
$x = - {\log _4}3$ .

Câu 20 :

Phương trình ${e^{2x}} - 5{e^x} = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A
Vô nghiệm.
B
1 nghiệm.
C
2 nghiệm.
D
3 nghiệm.

Câu 21 :

Tập nghiệm của phương trình: ${4^x} = \sqrt {2\sqrt 2 }$ là:

A
$S = \left\{ {\frac{3}{8}} \right\}$ .
B
$S = \left\{ {\frac{3}{4}} \right\}$ .
C
$S = \left\{ {\frac{8}{3}} \right\}$ .
D
$S = \left\{ {\frac{4}{3}} \right\}$ .

Câu 22 :

Phương trình ${\log _{\sqrt[4]{2}}}{\left( {{x^2} - 2} \right)^2} = 8$ có bao nhiêu nghiệm?

A
Vô nghiệm.
B
1 nghiệm.
C
2 nghiệm.
D
3 nghiệm.

Câu 23 :

Bất phương trình ${3^{{4^x}}} < {4^{{3^x}}}$ có nghiệm là:

A
$x > {\log _{\frac{4}{3}}}\left( {{{\log }_4}3} \right)$ .
B
$x < {\log _{\frac{4}{3}}}\left( {{{\log }_4}3} \right)$ .
C
$x < {\log _{\frac{4}{3}}}\left( {{{\log }_3}4} \right)$ .
D
$x > {\log _{\frac{4}{3}}}\left( {{{\log }_3}4} \right)$ .

Câu 24 :

“Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian, kí hiệu (a, b) là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt … hoặc … với a và b”. Từ (cụm từ) thích hợp để điền vào dấu … để được câu đúng là:

A
vuông góc, trùng.
B
vuông góc, chéo.
C
song song, chéo.
D
song song, trùng.

Câu 25 :

Cho hình chóp S. ABCD có AD//BC. Gọi N là một điểm thuộc cạnh SD (N khác S và D), qua N vẽ đường thẳng song song với AS cắt AD tại M. Chọn đáp án đúng:

A
$\left( {MN,BC} \right) = \left( {SA,SD} \right)$ .
B
$\left( {MN,BC} \right) = \left( {SD,DA} \right)$ .
C
$\left( {MN,BC} \right) = \left( {SA,AD} \right)$ .
D
Cả A, B, C đều sai.

Câu 26 :

Cho tứ diện ABCD có $AB = CD = 2a$ . Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, AD, AC. Biết rằng $MN = a\sqrt 3$ . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

A
${90^0}$ .
B
${60^0}$ .
C
${30^0}$ .
D
${70^0}$ .

Câu 27 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, $SA = SC$ . Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SO và IK bằng:

A
${60^0}$ .
B
${90^0}$ .
C
${120^0}$ .
D
${70^0}$ .

Câu 28 :

Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ . Tam giác SAC là tam giác gì?

A
Tam giác vuông tại A.
B
Tam giác cân tại A.
C
Tam giác đều.
D
Tam giác tù tại A.

Câu 29 :

Cho hình chóp S. ABCD như hình vẽ dưới đây:

Biết rằng: $SA \bot AB,SA \bot AD$ .

Chọn khẳng định đúng.

A
SA $\bot$ (SAC).
B
$SA \bot \left( {ABCD} \right)$ .
C
Cả A và B đều đúng.
D
Cả A và B đều sai.

Câu 30 :

Cho tứ diện OABC sao cho $OA \bot \left( {OBC} \right)$ . Gọi D là trung điểm của BC. Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh AD (M khác A, D). Qua M kẻ đường thẳng song song với AO cắt OD tại N. Chọn đáp án đúng.

A
$MN \bot \left( {BOC} \right)$ .
B
$MN \bot \left( {OAD} \right)$ .
C
Cả A và B đều đúng.
D
Cả A và B đều sai.

Câu 31 :

Cho hình chóp S. ABCD. Gọi A là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD). Khi đó, hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD) là:

A
AC.
B
AD.
C
AB.
D
AS.

Câu 32 :

Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC. Qua S kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cắt mặt phẳng đó tại H. Khi đó, góc giữa SH và MP bằng bao nhiêu độ?

A
${60^0}$ .
B
${90^0}$ .
C
${120^0}$ .
D
${70^0}$ .

Câu 33 :

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (COB) là điểm nào?

A
Q (Q là trung điểm của OB).
B
B.
C
O.
D
H (H là trung điểm của OC).

Câu 34 :

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M là trung điểm của CD. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

A
${30^0}$ .
B
${60^0}$ .
C
${90^0}$ .
D
${45^0}$ .

Câu 35 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ . Kẻ BM vuông góc với SC (M thuộc SC). Tam giác SMD là tam giác:

A
Vuông tại M.
B
Cân tại M.
C
Tù tại M.
D
Tam giác nhọn.

II. Tự luận

Câu 1 :

Cho hàm số: $y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)}$ .

a) Với $m = 0$ , hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định có tập xác định là $\mathbb{R}$ .

Câu 2 :

Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại H, lấy điểm S. Chứng minh rằng:

a) $AC \bot \left( {SHK} \right)$ .

b) $CK \bot \left( {SDH} \right)$ .

Câu 3 :

Giải bất phương trình ${\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left| {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right|$ .

Quảng cáo

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm

Câu 1 :

Chọn đáp án đúng.

Với a là số thực khác 0 thì:

A
${a^0} = 0$ .
B
${a^0} = \frac{1}{a}$ .
C
${a^0} = - 1$ .
D
${a^0} = 1$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Với a là số thực khác 0 thì ${a^0} = 1$ .

Lời giải chi tiết :

Với a là số thực khác 0 thì ${a^0} = 1$ .

Đáp án D.

Câu 2 :

Cho biểu thức $P = \sqrt[6]{x}$ với $x > 0$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A
$P = {x^{\sqrt 6 }}$ .
B
$P = {x^{\frac{1}{6}}}$ .
C
$P = {x^6}$ .
D
$P = {x^{ - 6}}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ , trong đó $m,n \in \mathbb{Z},n > 0$ . Ta có: ${a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$

Lời giải chi tiết :

$P = \sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{6}}}$

Đáp án B.

Câu 3 :

Chọn đáp án đúng:

A
$\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = x - 1$ .
B
$\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = x + 1$ .
C
$\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = \left| {x - 1} \right|$ .
D
$\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = - x + 1$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

$\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|$ khi n chẵn (với các biểu thức đều có nghĩa).

Lời giải chi tiết :

$\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = \left| {x - 1} \right|$ .

Đáp án C.

Câu 4 :

Cho a là số dương, rút gọn biểu thức $\frac{{\sqrt a .\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt[4]{a}}}$ được kết quả là:

A
$\sqrt[{12}]{{{a^{11}}}}$ .
B
$\sqrt[{121}]{a}$ .
C
$\sqrt[{11}]{{{a^{12}}}}$ .
D
$\sqrt[3]{{{a^4}}}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ , trong đó $m,n \in \mathbb{Z},n > 0$ . Ta có: ${a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$

+ Với a là số thực dương, m, n là các số thực bất kì thì: ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}$ .

Lời giải chi tiết :

$\frac{{\sqrt a .\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt[4]{a}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{2}}}.{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}}}} = {a^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4}}} = {a^{\frac{{11}}{{12}}}} = \sqrt[{12}]{{{a^{11}}}}$

Đáp án A.

Câu 5 :

A
474 con.
B
475 con.
C
476 con.
D
477 con.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thay t vào công thức $N={{100.2}^{\frac{t}{2}}}$ để tìm số con vi khuẩn.

Lời giải chi tiết :

Đổi 4 giờ 30 phút $= \frac{9}{2}$ (giờ)

Sau $\frac{9}{2}$ giờ sẽ có số con vi khuẩn là: ${100.2^{\frac{{\frac{9}{2}}}{2}}} = {100.2^{\frac{9}{4}}} \approx 476$ (con).

Đáp án C.

Câu 6 :

Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để… được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là ${\log _a}b$ .

Biểu thức phù hợp để điền vào “…” được câu đúng là:

A
${a^c} = b$ .
B
${a^b} = c$ .
C
${b^a} = c$ .
D
${c^a} = b$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để ${a^c} = b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu ${\log _a}b$ .

Lời giải chi tiết :

Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để ${a^c} = b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu ${\log _a}b$ .

Đáp án A.

Câu 7 :

Chọn đáp án đúng.

Với $a,b > 0,a \ne 1$ thì:

A
${\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) = - \frac{1}{{{{\log }_a}b}}$ .
B
${\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) = - {\log _a}b$ .
C
${\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) = {\log _a}\left( { - b} \right)$ .
D
${\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) = - {\log _a}\left( { - b} \right)$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với $a,b > 0,a \ne 1$ thì ${\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) = - {\log _a}b$

Lời giải chi tiết :

${\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) = - {\log _a}b$

Đáp án B.

Câu 8 :

Chọn đáp án đúng:

Với n số thực dương ${b_1},{b_2},..,{b_n},a > 0,a \ne 1$ thì:

A
${\log _a}\left( {{b_1}.{b_2}...{b_n}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2} + ... + {\log _a}{b_n}$ .
B
${\log _a}\left( {{b_1}.{b_2}...{b_n}} \right) = {\log _a}{b_1}.{\log _a}{b_2}...{\log _a}{b_n}$ .
C
${\log _a}\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right) = {\log _a}{b_1}.{\log _a}{b_2}...{\log _a}{b_n}$ .
D
${\log _a}\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2} + ... + {\log _a}{b_n}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với n số thực dương ${b_1},{b_2},..,{b_n}$ thì: ${\log _a}\left( {{b_1}.{b_2}...{b_n}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2} + ... + {\log _a}{b_n}$

Lời giải chi tiết :

Với n số thực dương ${b_1},{b_2},..,{b_n}$ thì: ${\log _a}\left( {{b_1}.{b_2}...{b_n}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2} + ... + {\log _a}{b_n}$

Đáp án A.

Câu 9 :

Cho x và y là các số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A
${3^{\ln x + \ln y}} = {3^{\ln x}} + {3^{\ln y}}$ .
B
${3^{\ln \left( {x + y} \right)}} = {3^{\ln x}}{.3^{\ln y}}$ .
C
${3^{\ln \left( {xy} \right)}} = {3^{\ln x}}{.3^{\ln y}}$ .
D
${3^{\ln x.\ln y}} = {3^{\ln x}} + {3^{\ln y}}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Với a là số thực dương, m, n là các số thực bất kì thì: ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$ .

+ Với $a > 0,a \ne 1,b,c > 0$ thì $\ln x + \ln y = \ln \left( {xy} \right)$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${3^{\ln x}}{.3^{\ln y}} = {3^{\ln x + \ln y}} = {3^{\ln \left( {xy} \right)}}$

Đáp án C.

Câu 10 :

Giá trị của biểu thức $2{\log _5}10 + {\log _{25}}0,25$ là:

A
$\frac{1}{{{{\log }_{25}}50}}$ .
B
$\frac{1}{{{{\log }_5}50}}$ .
C
${\log _{25}}50$ .
D
${\log _5}50$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Với $a > 0,a \ne 1,b,c > 0$ thì: ${\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right)$ , ${\log _{{b^a}}}c = \frac{1}{a}{\log _b}c$ , $\alpha {\log _a}b = {\log _a}{b^\alpha }$ $\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)$

Lời giải chi tiết :

$2{\log _5}10 + {\log _{25}}0,25 = {\log _5}{10^2} + \frac{1}{2}{\log _5}0,25 = {\log _5}100 + {\log _5}0,{25^{\frac{1}{2}}} = {\log _5}\left( {100.0,5} \right) = {\log _5}50$

Đáp án D.

Câu 11 :

Hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ với giá trị nào của a dưới đây?

A
$a = \frac{1}{2}$ .
B
$a = 0,75$ .
C
$a = \frac{3}{2}$ .
D
$a = \ln 2$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số $y = {\log _a}x$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ với $a > 1$ .

Lời giải chi tiết :

Vì hàm số $y = {\log _a}x$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ với $a > 1$ nên hàm số đồng biến khi $a = \frac{3}{2}$ .

Đáp án C.

Câu 12 :

Hàm số nào dưới đây là không phải hàm số mũ?

A
$y = {3^x}$ .
B
$y = {\left( {3x} \right)^3}$ .
C
$y = {\pi ^x}$ .
D
$y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = {\left( {3x} \right)^3}$ không phải là hàm số mũ.

Đáp án B.

Câu 13 :

Hàm số nào sau đây có tập xác định là $\mathbb{R}$ ?

A
$y = \ln x$ .
B
$y = \log \frac{x}{4}$ .
C
$y = {e^{5x}}$ .
D
$y = {\left( {\frac{2}{x}} \right)^5}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ .

Hàm số $y = {\log _a}u\left( x \right)\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ xác định khi $u\left( x \right) > 0$ .

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = {e^{5x}}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ .

Đáp án C.

Câu 14 :

Hàm số $y = {\log _{10}}x$ có tập giá trị là:

A
$\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ .
B
$\left( { - \infty ;0} \right)$ .
C
$\left( {0; + \infty } \right)$ .
D
$\left( { - 10;10} \right)$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ có tập giá trị là $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ .

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ có tập giá trị là $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ .

Đáp án A.

Câu 15 :

Cho đồ thị hàm số $y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)$ có đồ thị là hình dưới đây:

Tìm a.

A
$a = 2$ .
B
$a = \sqrt 2$ .
C
$a = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ .
D
$a = \frac{1}{2}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thay điểm A(2; 2) vào hàm số $y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)$ để tìm a.

Lời giải chi tiết :

Vì đồ thị hàm số $y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)$ đi qua điểm A(2; 2) nên ta có:

${\log _a}2 = 2 \Leftrightarrow {a^2} = 2 \Rightarrow a = \sqrt 2$ (do $a > 0,a \ne 1$ )

Đáp án B.

Câu 16 :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để hàm số $y = {\left( { - {a^2} + 2a + 4} \right)^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A
1.
B
2.
C
3.
D
4.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cho hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ :

+ Nếu $a > 1$ thì hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

+ Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = {\left( { - {a^2} + 2a + 4} \right)^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi:

$- {a^2} + 2a + 4 > 1 \Leftrightarrow - {a^2} + 2a + 3 > 0 \Leftrightarrow {a^2} - 2a - 3 < 0 \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)\left( {a - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow - 1 < a < 3$

Mà a là số nguyên nên $a \in \left\{ {0;1;2} \right\}$ .

Vậy có 3 giá trị nguyên của a để hàm số $y = {\left( { - {a^2} + 2a + 4} \right)^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Đáp án C.

Câu 17 :

Cho bất phương trình ${6^x} > b$ . Với giá trị nào của b thì bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ ?

A
$b = 0$ .
B
$b = 1$ .
C
$b = \frac{1}{6}$ .
D
$b = 6$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bất phương trình ${a^x} > b\left( {0 < a \ne 1} \right)$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ khi $b \le 0$ .

Lời giải chi tiết :

Bất phương trình ${a^x} > b\left( {0 < a \ne 1} \right)$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ khi $b \le 0$ nên bất phương trình ${6^x} > b$ có có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ với $b = 0$

Đáp án A.

Câu 18 :

Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{{\sqrt {15} }}} \right)^x} > \frac{1}{{\sqrt {15} }}$ là

A
$S = \left[ {1; + \infty } \right)$ .
B
$S = \left( { - \infty ;1} \right]$ .
C
$S = \left( {1; + \infty } \right)$ .
D
$S = \left( { - \infty ;1} \right)$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Với $0 < a < 1$ thì ${a^{u\left( x \right)}} > {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) < v\left( x \right)$ .

Lời giải chi tiết :

${\left( {\frac{1}{{\sqrt {15} }}} \right)^x} > \frac{1}{{\sqrt {15} }} \Leftrightarrow x < 1$ (do $0 < \frac{1}{{\sqrt {15} }} < 1$ )

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( { - \infty ;1} \right)$

Đáp án D.

Câu 19 :

Phương trình ${3^{ - x}} = 4$ có nghiệm là:

A
$x = {\log _4}3$ .
B
$x = {\log _3}4$ .
C
$x = - {\log _3}4$ .
D
$x = - {\log _4}3$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phương trình ${a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ với $b > 0$ có nghiệm là: $x = {\log _a}b$

Lời giải chi tiết :

${3^{ - x}} = 4 \Leftrightarrow - x = {\log _3}4 \Leftrightarrow x = - {\log _3}4$

Vậy phương trình có nghiệm $x = - {\log _3}4$ .

Đáp án C.

Câu 20 :

Phương trình ${e^{2x}} - 5{e^x} = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A
Vô nghiệm.
B
1 nghiệm.
C
2 nghiệm.
D
3 nghiệm.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phương trình ${a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ với $b > 0$ có nghiệm là: $x = {\log _a}b$

Lời giải chi tiết :

${e^{2x}} - 5{e^x} = 0 \Leftrightarrow {\left( {{e^x}} \right)^2} - 5{e^x} = 0 \Leftrightarrow {e^x}\left( {{e^x} - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow {e^x} - 5 = 0\left( {do\;{e^x} > 0\;\forall x \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow x = \ln 5$

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm.

Đáp án B.

Câu 21 :

Tập nghiệm của phương trình: ${4^x} = \sqrt {2\sqrt 2 }$ là:

A
$S = \left\{ {\frac{3}{8}} \right\}$ .
B
$S = \left\{ {\frac{3}{4}} \right\}$ .
C
$S = \left\{ {\frac{8}{3}} \right\}$ .
D
$S = \left\{ {\frac{4}{3}} \right\}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với $a > 0,a \ne 1$ ta có: ${a^{u\left( x \right)}} = {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) = v\left( x \right)$

Lời giải chi tiết :

${4^x} = \sqrt {2\sqrt 2 } \Leftrightarrow {2^{2x}} = {\left( {{{2.2}^{\frac{1}{2}}}} \right)^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow {2^{2x}} = {2^{\frac{3}{4}}} \Leftrightarrow 2x = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{3}{8}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ {\frac{3}{8}} \right\}$

Đáp án A.

Câu 22 :

Phương trình ${\log _{\sqrt[4]{2}}}{\left( {{x^2} - 2} \right)^2} = 8$ có bao nhiêu nghiệm?

A
Vô nghiệm.
B
1 nghiệm.
C
2 nghiệm.
D
3 nghiệm.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Với $a > 0,a \ne 1$ ta có: ${\log _a}u\left( x \right) = b \Leftrightarrow u\left( x \right) = {a^b}$

Lời giải chi tiết :

${\log _{\sqrt[4]{2}}}{\left( {{x^2} - 2} \right)^2} = 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2 \ne 0\\{\left( {{x^2} - 2} \right)^2} = {\left( {\sqrt[4]{2}} \right)^8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2 \ne 0\\{\left( {{x^2} - 2} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm \sqrt 2 \\\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2 = 2\\{x^2} - 2 = - 2\end{array} \right.\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm \sqrt 2 \\\left[ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\{x^2} = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm \sqrt 2 \\\left[ \begin{array}{l}x = \pm 2\\x = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 2\\x = 0\end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Đáp án D.

Câu 23 :

Bất phương trình ${3^{{4^x}}} < {4^{{3^x}}}$ có nghiệm là:

A
$x > {\log _{\frac{4}{3}}}\left( {{{\log }_4}3} \right)$ .
B
$x < {\log _{\frac{4}{3}}}\left( {{{\log }_4}3} \right)$ .
C
$x < {\log _{\frac{4}{3}}}\left( {{{\log }_3}4} \right)$ .
D
$x > {\log _{\frac{4}{3}}}\left( {{{\log }_3}4} \right)$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Với $a > 1,b > 0$ thì ${a^{u\left( x \right)}} < b \Leftrightarrow u\left( x \right) < {\log _a}b$ .

Lời giải chi tiết :

${3^{{4^x}}} < {4^{{3^x}}} \Leftrightarrow {4^x}{\log _3}3 < {3^x}{\log _3}4 \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} < {\log _3}4 \Leftrightarrow x < {\log _{\frac{4}{3}}}\left( {{{\log }_3}4} \right)$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $x < {\log _{\frac{4}{3}}}\left( {{{\log }_3}4} \right)$

Đáp án C.

Câu 24 :

A
vuông góc, trùng.
B
vuông góc, chéo.
C
song song, chéo.
D
song song, trùng.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu $\left( {a,b} \right)$ hoặc $\widehat {\left( {a;b} \right)}$ .

Lời giải chi tiết :

Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian, kí hiệu (a, b) là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b

Đáp án D.

Câu 25 :

Cho hình chóp S. ABCD có AD//BC. Gọi N là một điểm thuộc cạnh SD (N khác S và D), qua N vẽ đường thẳng song song với AS cắt AD tại M. Chọn đáp án đúng:

A
$\left( {MN,BC} \right) = \left( {SA,SD} \right)$ .
B
$\left( {MN,BC} \right) = \left( {SD,DA} \right)$ .
C
$\left( {MN,BC} \right) = \left( {SA,AD} \right)$ .
D
Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Vì AD//BC, MN//SA nên $\left( {MN,BC} \right) = \left( {SA,AD} \right)$

Đáp án C.

Câu 26 :

Cho tứ diện ABCD có $AB = CD = 2a$ . Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, AD, AC. Biết rằng $MN = a\sqrt 3$ . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

A
${90^0}$ .
B
${60^0}$ .
C
${30^0}$ .
D
${70^0}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu $\left( {a,b} \right)$ hoặc $\widehat {\left( {a;b} \right)}$ .

+ Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá ${90^0}$ .

Lời giải chi tiết :

Vì IM là đường trung bình của tam giác ABC nên IM//AB và $IM = \frac{{AB}}{2} = a$

Vì IN là đường trung bình của tam giác ADC nên IN//CD và $IN = \frac{{CD}}{2} = a$

Do đó, $\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right)$

Áp dụng định lí côsin vào tam giác MNI ta có:

$M{N^2} = I{M^2} + I{N^2} - 2IM.IN.\cos \widehat {MIN} \Rightarrow 3{a^2} = {a^2} + {a^2} - 2a.a.\cos \widehat {MIN} \Rightarrow \cos \widehat {MIN} = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \widehat {MIN} = {120^0}$

Suy ra: $\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right) = {180^0} - \widehat {MIN} = {180^0} - {120^0} = {60^0}$

Đáp án B.

Câu 27 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, $SA = SC$ . Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SO và IK bằng:

A
${60^0}$ .
B
${90^0}$ .
C
${120^0}$ .
D
${70^0}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

+ Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng ${90^0}$ .

Lời giải chi tiết :

Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC.

Vì $SA = SC$ nên tam giác SAC cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, $SO \bot AC$

Vì I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC nên IK là đường trung bình của tam giác BAC. Do đó, IK//AC.

Vì $SO \bot AC$ , IK//AC nên $IK \bot SO$ . Do đó, góc giữa hai đường thẳng SO và IK bằng ${90^0}$ .

Đáp án B.

Câu 28 :

Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ . Tam giác SAC là tam giác gì?

A
Tam giác vuông tại A.
B
Tam giác cân tại A.
C
Tam giác đều.
D
Tam giác tù tại A.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right),AC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC$ . Do đó, tam giác SAC vuông tại A.

Đáp án A.

Câu 29 :

Cho hình chóp S. ABCD như hình vẽ dưới đây:

Biết rằng: $SA \bot AB,SA \bot AD$ .

Chọn khẳng định đúng.

A
SA $\bot$ (SAC).
B
$SA \bot \left( {ABCD} \right)$ .
C
Cả A và B đều đúng.
D
Cả A và B đều sai.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì $d \bot \left( P \right)$

Lời giải chi tiết :

Vì $SA \bot AB,SA \bot AD$ , AB và AD cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ .

SA không vuông góc với mặt phẳng (SAC).

Đáp án B.

Câu 30 :

A
$MN \bot \left( {BOC} \right)$ .
B
$MN \bot \left( {OAD} \right)$ .
C
Cả A và B đều đúng.
D
Cả A và B đều sai.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì các đường thẳng song song với a cũng vuông góc với (P).

Lời giải chi tiết :

Vì $OA \bot \left( {OBC} \right),$ MN//OA nên $MN \bot \left( {OBC} \right)$

MN không vuông góc với mặt phẳng (OAD).

Đáp án A.

Câu 31 :

Cho hình chóp S. ABCD. Gọi A là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD). Khi đó, hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD) là:

A
AC.
B
AD.
C
AB.
D
AS.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì C thuộc mặt phẳng (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của điểm C trên mặt phẳng (ABCD) là chính nó.

Vì A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Do đó, hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD) là AC.

Đáp án A.

Câu 32 :

A
${60^0}$ .
B
${90^0}$ .
C
${120^0}$ .
D
${70^0}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì đường thẳng d cũng vuông góc với các mặt phẳng song song với (P).

+ Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB. Do đó, MN//AB.

Vì P, N lần lượt là trung điểm của SC, SB nên PN là đường trung bình của tam giác SBC. Do đó, PN//CB.

Vì MN//AB, PN//CB nên (MNP)// (ABC).

Mặt khác, $SH \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SH \bot \left( {MNP} \right)$ . Mà $MP \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow SH \bot MP$

Do đó, góc giữa hai đường thẳng MP và SH bằng ${90^0}$ .

Đáp án B.

Câu 33 :

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (COB) là điểm nào?

A
Q (Q là trung điểm của OB).
B
B.
C
O.
D
H (H là trung điểm của OC).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d \bot \left( P \right)$ .

+ Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì $OA \bot OB,OA \bot OC$ và OB và OC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OBC) nên $OA \bot \left( {OBC} \right)$ nên O là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (COB).

Đáp án C.

Câu 34 :

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M là trung điểm của CD. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

A
${30^0}$ .
B
${60^0}$ .
C
${90^0}$ .
D
${45^0}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d \bot \left( P \right)$ .

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì $AC = AD = CD$ nên tam giác ACD là tam giác đều. Do đó, AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, $AM \bot CD$

Vì $BC = BD = CD$ nên tam giác BCD là tam giác đều. Do đó, BM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, $BM \bot CD$

Vì $AM \bot CD$ , $BM \bot CD$ , AM, BM cắt nhau tại M và nằm trong mặt phẳng ABM.

Do đó, $CD \bot \left( {AMB} \right)$ . Mà $AB \subset \left( {ABM} \right) \Rightarrow AB \bot CD$

Do đó, góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng ${90^0}$ .

Đáp án C.

Câu 35 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ . Kẻ BM vuông góc với SC (M thuộc SC). Tam giác SMD là tam giác:

A
Vuông tại M.
B
Cân tại M.
C
Tù tại M.
D
Tam giác nhọn.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d \bot \left( P \right)$ .

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD là hình vuông nên $AC \bot BD$

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right),BD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD$

Ta có: $AC \bot BD$ , $SA \bot BD$ , SA, AC cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAC) nên $BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC$

Lại có: $BM \bot SC$ , BM và BD cắt nhau tại B và nằm trong mặt phẳng (BMD) nên $SC \bot \left( {BMD} \right)$ .

Mà $MD \subset \left( {BMD} \right) \Rightarrow MD \bot SC$ hay $MD \bot SM$ . Do đó, tam giác SMD vuông tại M.

Đáp án A.

II. Tự luận

Câu 1 :

Cho hàm số: $y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)}$ .

a) Với $m = 0$ , hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định có tập xác định là $\mathbb{R}$ .

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \log u\left( x \right)$ xác định khi $u\left( x \right) > 0$ .

Hàm số $y = \sqrt {u\left( x \right)}$ xác định khi $u\left( x \right) \ge 0$ .

Lời giải chi tiết :

a) Với $m = 0$ ta có: $y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}$ .

Hàm số $y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}$ xác định khi

$\log \left( {{x^2} - 2x + 5} \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 5 > 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 3 > 0$ (luôn đúng với mọi số thực x)

Vậy với $m = 0$ thì tập xác định của hàm số là: $D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)$

b) Hàm số $y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)}$

Điều kiện: $\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right) \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5 \ge 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4 \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

Đặt $f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4$

Trường hợp 1: Với $m = - 1$ ta có: $f\left( x \right) = 4 \ge 0$ . Do đó, f(x) xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, $m = - 1$ thỏa mãn.

Trường hợp 2: $m \ne - 1$ .

Hàm số $f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4 \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 4\left( {m + 1} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\\left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m \le 3$

Vậy với $m \in \left[ { - 1;3} \right]$ thì hàm số $y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ .

Câu 2 :

Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại H, lấy điểm S. Chứng minh rằng:

a) $AC \bot \left( {SHK} \right)$ .

b) $CK \bot \left( {SDH} \right)$ .

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d \bot \left( P \right)$ .

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

a) Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó, $HK//BD$ . Mà $AC \bot BD$ (do ABCD là hình vuông) nên $AC \bot HK$

Vì $AC \bot HK,SH \bot AC\left( {do\;AC \subset \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow AC \bot \left( {SHK} \right)$

b) Gọi I là giao điểm của CK và DH.

Tam giác AHD và tam giác DKC có: $AH = DK,\widehat {HAD} = \widehat {KDC},AD = DC$

Do đó, $\Delta AHD = \Delta DKC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {HDA} = \widehat {KCD}$

Ta có: $\widehat {DKC} + \widehat {KCD} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DKC} + \widehat {HDA} = {90^0}$

Ta có: $\widehat {DIK} = {180^0} - \left( {\widehat {DKC} + \widehat {HDA}} \right) = {90^0} \Rightarrow DH \bot CK$

Mà $SH \bot \left( {ABCD} \right),CK \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot CK$

Ta có: $DH \bot CK,SH \bot CK$ , SH và DH nằm trong mặt phẳng (SHD) và cắt nhau tại H nên $CK \bot \left( {SDH} \right)$ .

Câu 3 :

Giải bất phương trình ${\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left| {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right|$ .

Phương pháp giải :

Nếu $a > 0,a \ne 1$ thì ${\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.$ (có thể thay $u\left( x \right) > 0$ bằng $v\left( x \right) > 0$ )

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\x - \sqrt {{x^2} - 1} > 0\end{array} \right.\left( * \right)$

${\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left| {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right|$

$\Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\frac{1}{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = {\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)$

$\Leftrightarrow - {\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}6.{\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)$

$\Leftrightarrow {\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\left[ {{{\log }_3}6.{{\log }_2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + 1} \right] = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0\;\left( 1 \right)\\{\log _3}6.{\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + 1 = 0\;\left( 2 \right)\end{array} \right.$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow x - \sqrt {{x^2} - 1} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 1 = {\left( {x - 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\left( {tm\left( * \right)} \right)$

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\log _3}6.{\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = - 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}3$

$\Leftrightarrow x + \sqrt {{x^2} - 1} = {2^{{{\log }_6}3}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le {2^{{{\log }_6}3}}\\{x^2} - 1 = {\left( {{2^{{{\log }_6}3}} - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\left( {{2^{{{\log }_6}3}} + {2^{ - {{\log }_6}3}}} \right)$ (thỏa mãn điều kiện)