Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo - Đề số 2

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Tải về

Tải về đề thi và đáp án Tải về đề thi Tải về đáp án
Làm đề thi

Câu 1: Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r=frac{m}{n}$, trong đó $m,nin mathbb{Z},n>0$. Ta có:

Đề bài

Câu 1 :

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

  • A
    Cho hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau. Khi đó, có một và chỉ một mặt phẳng chứa hai đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
  • B
    Qua một điểm O cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.
  • C
    Qua một điểm O cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.
  • D
    Qua một điểm O cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Câu 2 :

Tính \({\log _8}1250\) theo a biết \(a = {\log _2}5\).

  • A
    \({\log _8}1250 = 4a + 3\).
  • B
    \({\log _8}1250 = \frac{4}{3}a + \frac{1}{3}\).
  • C
    \({\log _8}1250 = 2a + \frac{1}{3}\).
  • D
    \({\log _8}1250 = 2a - \frac{1}{3}\).
Câu 3 :

Chọn đáp án đúng.

  • A
    Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \(M\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(f'\left( {{x_0}} \right)\).
  • B
    Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \(M\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(f''\left( {{x_0}} \right)\).
  • C
    Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \(M\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(\frac{1}{2}f'\left( {{x_0}} \right)\).
  • D
    Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \(M\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(\frac{1}{2}f''\left( {{x_0}} \right)\).
Câu 4 :

Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác ABC vuông tại B. Kẻ \(AH \bot SB\left( {H \in SB} \right)\). Khẳng định nào dưới đây là sai?

  • A
    \(BC \bot SA\).
  • B
    \(BC \bot AH\).
  • C
    \(AH \bot AC\).
  • D
    \(AH \bot SC\).
Câu 5 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \({\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{{a\sqrt a }}} \right) = \frac{5}{2}\).
  • B
    \({\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{{a\sqrt a }}} \right) = 1\).
  • C
    \({\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{{a\sqrt a }}} \right) = \frac{5}{4}\).
  • D
    \({\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{{a\sqrt a }}} \right) = \frac{5}{3}\).
Câu 6 :

Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{2x - 4}} \ge \frac{1}{4}\) là:

  • A
    \(S = \left[ {4; + \infty } \right)\).
  • B
    \(S = \left( {4; + \infty } \right)\).
  • C
    \(S = \left( { - \infty ;4} \right]\).
  • D
    \(S = \left( { - \infty ;4} \right)\).
Câu 7 :

Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A
    Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là \(\frac{1}{{\ln a}}\).
  • B
    Lôgarit tự nhiên của số thực dương của a kí hiệu là \(\log a\).
  • C
    Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là \(\frac{1}{{\log a}}\).
  • D
    Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là \(\ln a\).  
Câu 8 :

Chọn đáp án đúng.

Với \(0 < a \ne 1,b,c > 0\) thì:

  • A
    \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\).
  • B
    \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b.{\log _a}c\).
  • C
    \({\log _a}\left( {bc} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}b.{\log _a}c\).
  • D
    \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b - {\log _a}c\).
Câu 9 :

Hàm số nào dưới đây là hàm số lôgarit cơ số 2?

  • A
    \(y = {2^x}\).
  • B
    \(y = {\log _x}2\).
  • C
    \(y = {\log _2}x\).
  • D
    \(y = \ln \left( {2x} \right)\).
Câu 10 :

Chọn khẳng định đúng.

  • A
    \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{\ln a}}\left( {x > 0,a > 0,a \ne 1} \right)\).
  • B
    \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{x}{{\ln a}}\left( {x > 0,a > 0,a \ne 1} \right)\).
  • C
    \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = x\ln a\left( {x > 0,a > 0,a \ne 1} \right)\).
  • D
    \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\left( {x > 0,a > 0,a \ne 1} \right)\).
Câu 11 :

Tập xác định của hàm số \(y = {8^{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) là:

  • A
    \(D = \left( { - 2;2} \right)\).
  • B
    \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
  • C
    \(D = \left[ { - 2;2} \right]\).
  • D
    \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Câu 12 :

Với giá trị nào của b thì phương trình \({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) vô nghiệm?

  • A
    \(b = {2^{ - 3}}\).
  • B
    \(b = 2\).
  • C
    \(b = 0\).
  • D
    \(b = \frac{1}{2}\).
Câu 13 :

Trong không gian, khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
    Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
  • B
    Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì song song với đường thẳng còn lại.
  • C
    Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
  • D
    Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Câu 14 :

Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có:

  • A
    \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[{nm}]{a}\).
  • B
    \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[m]{{{a^n}}}\).
  • C
    \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).
  • D
    \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}}\).
Câu 15 :

Giá trị của biểu thức \({\left( {\sqrt 5  - 2} \right)^{2024}}.{\left( {\sqrt 5  + 2} \right)^{2025}}\)

  • A
    \(\sqrt 5  + 2\).
  • B
    \(\sqrt 5  - 2\).
  • C
    \( - \sqrt 5  + 2\).
  • D
    \( - \sqrt 5  - 2\).
Câu 16 :

Phương trình \({\log _2}x =  - 2\) có nghiệm là:

  • A
    \(x =  - 4\).
  • B
    \(x = 4\).
  • C
    \(x = \frac{{ - 1}}{4}\).
  • D
    \(x = \frac{1}{4}\).
Câu 17 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \({\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^2} = \sqrt[6]{5}\).
  • B
    \({\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^2} = \sqrt[3]{{10}}\).
  • C
    \({\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^2} = \sqrt {{5^{^3}}} \).
  • D
    \({\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^2} = \sqrt[3]{{{5^2}}}\).
Câu 18 :

Tập nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{{\log }_{16}}x} \right) =  - 2\) là:

  • A
    \(S = \left\{ 3 \right\}\).
  • B
    \(S = \left\{ 2 \right\}\).
  • C
    \(S = \left\{ 4 \right\}\).
  • D
    \(S = \left\{ 5 \right\}\).
Câu 19 :

Bất phương trình \(2{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) > {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {3x + 7} \right)\) có nghiệm là:

  • A
    \( - 2 \le x \le 3\).
  • B
    \( - 2 < x < 3\).
  • C
    \( - 1 \le x < 3\).
  • D
    \( - 1 < x < 3\).
Câu 20 :

Chọn đáp án đúng

Cho a, b là những số thực dương, \(\alpha \) là số thực bất kì. Khi đó:

  • A
    \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\).
  • B
    \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{a}{{{b^\alpha }}}\).
  • C
    \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{b}\).
  • D
    Cả A, B, C đều sai.
Câu 21 :

Nếu hàm số \(T = f\left( t \right)\) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì … biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm \({t_0}\). Đáp án thích hợp điền vào “…” để được câu đúng là:

  • A
    \(f''\left( t \right)\).
  • B
    \(\frac{1}{2}f'\left( {{t_0}} \right)\).
  • C
    \(f'\left( {{t_0}} \right)\).
  • D
    \(\frac{1}{2}f''\left( {{t_0}} \right)\).
Câu 22 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SC. Góc giữa IJ và BD bằng:

  • A
    \({60^0}\).
  • B
    \({90^0}\).
  • C
    \({80^0}\).
  • D
    \({70^0}\).
Câu 23 :

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng:

  • A
    1800.
  • B
    1500.
  • C
    900.
  • D
    Cả A, B, C đều sai.
Câu 24 :

Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?

  • A
    \(y = {2^x}\).
  • B
    \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\).
  • C
    \(y = {e^x}\).
  • D
    \(y = {\pi ^x}\).
Câu 25 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (SAB) là điểm:

  • A
    S.
  • B
    A.
  • C
    B.
  • D
    E (với E là trung điểm của SB).
Câu 26 :

Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) đi qua điểm:

  • A
    \(A\left( {1;0} \right)\).
  • B
    \(B\left( {0;1} \right)\).
  • C
    \(C\left( {0; - 1} \right)\).
  • D
    \(D\left( {a;0} \right)\).
Câu 27 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \(SA = a\sqrt 3 \) và \(SA \bot BC\). Góc giữa SD và BC bằng:

  • A
    \({45^0}\).
  • B
    \({60^0}\).
  • C
    \({30^0}\).
  • D
    \({70^0}\).
Câu 28 :

Nghiệm của phương trình \(0,{2^{x - 1}} = \frac{1}{{\sqrt {125} }}\) là:

  • A
    \(x = \frac{5}{2}\).
  • B
    \(x = \frac{5}{4}\).
  • C
    \(x = \frac{{ - 1}}{4}\).
  • D
    \(x = \frac{1}{2}\).
Câu 29 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3x\). Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \(M\left( { - 1; - 4} \right)\)có phương trình là:

  • A
    \(y =  - 6x + 8\).
  • B
    \(y = 6x - 8\).
  • C
    \(y = 6x + 2\).
  • D
    \(y =  - 6x - 2\).
Câu 30 :

Tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) là:

  • A
    \(T = \mathbb{R}\).
  • B
    \(T = \left( { - \infty ;0} \right)\).
  • C
    \(T = \left( {0; + \infty } \right)\).
  • D
    \(T = \left( { - 1;1} \right)\).
Câu 31 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

  • A
    Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (P).
  • B
    Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
  • C
    Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với mặt phẳng (P).
  • D
    Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì nó vuông góc với bất kì đường thẳng nào trong mặt phẳng (P).
Câu 32 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng \(SA = SC,SB = SD\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
    \(AB \bot \left( {SAC} \right)\).
  • B
    \(CD \bot AC\).
  • C
    \(CD \bot \left( {SBD} \right)\).
  • D
    \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Câu 33 :

Rút gọn biểu thức \({\left( {{a^{\sqrt 3 }}.{b^{\frac{{ - 6}}{{\sqrt 3 }}}}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\) (với \(a,b > 0\)) được kết quả là:

  • A
    \({a^2}\).
  • B
    \(\frac{a}{{{b^2}}}\).
  • C
    \(\frac{b}{a}\).
  • D
    \(a{b^2}\).
Câu 34 :

Nghiệm của phương trình \({\left( {\sqrt 3 } \right)^x} = 3\) là:

  • A
    \(x = 0\).
  • B
    \(x = 2\).
  • C
    \(x =  - 1\).
  • D
    \(x = 1\).
Câu 35 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}x\). Biết rằng: \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]} y = M,\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]} y = m\). Khi đó:

  • A
    \(M.m = 2\).
  • B
    \(M.m =  - 1\).
  • C
    \(M.m = 4\).
  • D
    \(M.m = 1\).
Câu 36 :

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không nằm trong (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (P). Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi…

Cụm từ thích hợp điền vào… để được đáp án đúng là:

  • A
    a vuông góc với \(b'\).
  • B
    a song song với \(b'\).
  • C
    a cắt \(b'\).
  • D
    a và \(b'\) chéo nhau.
Câu 37 :

Chọn đáp án đúng.

Trong không gian, cho đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d:

  • A
    Vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P).
  • B
    Vuông góc với đường thẳng a mà đường thẳng a song song mặt phẳng (P).
  • C
    Vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
  • D
    Vuông góc với đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).
Câu 38 :

Chọn đáp án đúng.

Với a, b, c là các số dương và \(a \ne 1,b \ne 1\) thì:

  • A
    \({\log _a}c = {\log _b}c.{\log _b}a\).
  • B
    \({\log _a}c = \frac{{{{\log }_b}c}}{{{{\log }_b}a}}\).
  • C
    \({\log _a}c = {\log _b}c + {\log _b}a\).
  • D
    \({\log _a}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_b}c}}\).
Câu 39 :

Cho hình chóp S. ABC có ABC là tam giác cân tại C, SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây là sai?

  • A
    \(CH \bot AK\).
  • B
    \(CH \bot SB\).
  • C
    \(CH \bot SA\).
  • D
    \(SB \bot AK\).
Câu 40 :

Đạo hàm của hàm số \(y = \tan x\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\) là:

  • A
    \(\frac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}x}}\).
  • B
    \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
  • C
    \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
  • D
    \(\frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\).

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

  • A
    Cho hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau. Khi đó, có một và chỉ một mặt phẳng chứa hai đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
  • B
    Qua một điểm O cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.
  • C
    Qua một điểm O cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.
  • D
    Qua một điểm O cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước cho trước.

Lời giải chi tiết :

Qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước cho trước nên đáp án B sai.

Hình minh họa:

Các đáp án còn lại đều đúng.

Đáp án B.

Câu 2 :

Tính \({\log _8}1250\) theo a biết \(a = {\log _2}5\).

  • A
    \({\log _8}1250 = 4a + 3\).
  • B
    \({\log _8}1250 = \frac{4}{3}a + \frac{1}{3}\).
  • C
    \({\log _8}1250 = 2a + \frac{1}{3}\).
  • D
    \({\log _8}1250 = 2a - \frac{1}{3}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với a, b là số thực dương và \(a \ne 1\) thì \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b,\log {\,_a}a = 1\), \({\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\)

Với a là số thực dương, \(a \ne 1\), \(M > 0,N > 0\) thì \({\log _a}MN = {\log _a}M + {\log _a}N\).

Lời giải chi tiết :

\({\log _8}1250 = {\log _{{2^3}}}\left( {{5^4}.2} \right) = \frac{1}{3}\left( {{{\log }_2}{5^4} + {{\log }_2}2} \right) = \frac{4}{3}{\log _2}5 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}a + \frac{1}{3}\)

Đáp án B.

Câu 3 :

Chọn đáp án đúng.

  • A
    Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \(M\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(f'\left( {{x_0}} \right)\).
  • B
    Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \(M\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(f''\left( {{x_0}} \right)\).
  • C
    Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \(M\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(\frac{1}{2}f'\left( {{x_0}} \right)\).
  • D
    Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \(M\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(\frac{1}{2}f''\left( {{x_0}} \right)\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \(M\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(f'\left( {{x_0}} \right)\).

Đáp án A.

Câu 4 :

Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác ABC vuông tại B. Kẻ \(AH \bot SB\left( {H \in SB} \right)\). Khẳng định nào dưới đây là sai?

  • A
    \(BC \bot SA\).
  • B
    \(BC \bot AH\).
  • C
    \(AH \bot AC\).
  • D
    \(AH \bot SC\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).

Tam giác ABC vuông tại B nên \(AB \bot BC\)

Ta có: \(SA \bot BC\), \(AB \bot BC\), SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\). Mà \(AH \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\)

Ta có: \(BC \bot AH,AH \bot SB\), SB và BC cắt nhau tại B và nằm trong mặt phẳng (SBC). Do đó, \(AH \bot \left( {SBC} \right)\), mà \(SC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow SC \bot AH\)

Nếu \(AH \bot AC\), mà \(SA \bot AC \Rightarrow AC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow AB \bot AC\) (vô lí)

Đáp án C.

Câu 5 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \({\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{{a\sqrt a }}} \right) = \frac{5}{2}\).
  • B
    \({\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{{a\sqrt a }}} \right) = 1\).
  • C
    \({\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{{a\sqrt a }}} \right) = \frac{5}{4}\).
  • D
    \({\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{{a\sqrt a }}} \right) = \frac{5}{3}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với a, b là số thực dương và \(a \ne 1\) thì \(\log {\,_a}a = 1;{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b,{\log _a}{a^\alpha } = \alpha \).

Lời giải chi tiết :

\({\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{{a\sqrt a }}} \right) = {\log _a}\left( {{a^2}{{\left( {a.{a^{\frac{1}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}} \right) = {\log _a}\left( {{a^2}.{a^{\frac{1}{2}}}} \right) = {\log _a}{a^{\frac{5}{2}}} = \frac{5}{2}\)

Đáp án A.

Câu 6 :

Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{2x - 4}} \ge \frac{1}{4}\) là:

  • A
    \(S = \left[ {4; + \infty } \right)\).
  • B
    \(S = \left( {4; + \infty } \right)\).
  • C
    \(S = \left( { - \infty ;4} \right]\).
  • D
    \(S = \left( { - \infty ;4} \right)\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Với \(a > 1\) thì \({a^{u\left( x \right)}} \ge {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) \ge v\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết :

\({\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{2x - 4}} \ge \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{\frac{{2x - 4}}{{ - 2}}}} \ge {2^{ - 2}} \Leftrightarrow  - x + 2 \ge  - 2 \Leftrightarrow x \le 4\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S = \left( { - \infty ;4} \right]\).

Đáp án C.

Câu 7 :

Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A
    Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là \(\frac{1}{{\ln a}}\).
  • B
    Lôgarit tự nhiên của số thực dương của a kí hiệu là \(\log a\).
  • C
    Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là \(\frac{1}{{\log a}}\).
  • D
    Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là \(\ln a\).  

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Lôgarit cơ số e của số thực dương b được gọi là lôgarit tự nhiên của b và kí hiệu ln b.

Lời giải chi tiết :

Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là \(\ln a\).

Đáp án D.

Câu 8 :

Chọn đáp án đúng.

Với \(0 < a \ne 1,b,c > 0\) thì:

  • A
    \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\).
  • B
    \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b.{\log _a}c\).
  • C
    \({\log _a}\left( {bc} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}b.{\log _a}c\).
  • D
    \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b - {\log _a}c\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với \(0 < a \ne 1,b,c > 0\) thì \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\).

Lời giải chi tiết :

Với \(0 < a \ne 1,b,c > 0\) thì \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\).

Đáp án A.

Câu 9 :

Hàm số nào dưới đây là hàm số lôgarit cơ số 2?

  • A
    \(y = {2^x}\).
  • B
    \(y = {\log _x}2\).
  • C
    \(y = {\log _2}x\).
  • D
    \(y = \ln \left( {2x} \right)\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = {\log _2}x\) có cơ số là 2.

Đáp án C.

Câu 10 :

Chọn khẳng định đúng.

  • A
    \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{\ln a}}\left( {x > 0,a > 0,a \ne 1} \right)\).
  • B
    \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{x}{{\ln a}}\left( {x > 0,a > 0,a \ne 1} \right)\).
  • C
    \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = x\ln a\left( {x > 0,a > 0,a \ne 1} \right)\).
  • D
    \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\left( {x > 0,a > 0,a \ne 1} \right)\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

\(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\left( {x > 0,a > 0,a \ne 1} \right)\)

Lời giải chi tiết :

\(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\left( {x > 0,a > 0,a \ne 1} \right)\)

Đáp án D.

Câu 11 :

Tập xác định của hàm số \(y = {8^{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) là:

  • A
    \(D = \left( { - 2;2} \right)\).
  • B
    \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
  • C
    \(D = \left[ { - 2;2} \right]\).
  • D
    \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số \(y = \sqrt {u\left( x \right)} \) xác định khi \(u\left( x \right) \ge 0\).

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = {8^{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) xác định khi \({x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le  - 2\end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số \(y = {8^{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) là: \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

Đáp án B.

Câu 12 :

Với giá trị nào của b thì phương trình \({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) vô nghiệm?

  • A
    \(b = {2^{ - 3}}\).
  • B
    \(b = 2\).
  • C
    \(b = 0\).
  • D
    \(b = \frac{1}{2}\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cho phương trình \({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\): Nếu \(b \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Phương trình \({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) vô nghiệm khi \(b \le 0\).

Do đó, \(b = 0\) thì phương trình \({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) vô nghiệm.

Đáp án C.

Câu 13 :

Trong không gian, khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
    Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
  • B
    Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì song song với đường thẳng còn lại.
  • C
    Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
  • D
    Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Trong không gian, cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết :

Trong không gian, cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

Đáp án A.

Câu 14 :

Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có:

  • A
    \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[{nm}]{a}\).
  • B
    \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[m]{{{a^n}}}\).
  • C
    \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).
  • D
    \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}}\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)

Lời giải chi tiết :

Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)

Đáp án C.

Câu 15 :

Giá trị của biểu thức \({\left( {\sqrt 5  - 2} \right)^{2024}}.{\left( {\sqrt 5  + 2} \right)^{2025}}\)

  • A
    \(\sqrt 5  + 2\).
  • B
    \(\sqrt 5  - 2\).
  • C
    \( - \sqrt 5  + 2\).
  • D
    \( - \sqrt 5  - 2\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}},{a^m}.{b^m} = {\left( {a.b} \right)^m},{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\)  (a khác 0).

Lời giải chi tiết :

\({\left( {\sqrt 5  - 2} \right)^{2024}}.{\left( {\sqrt 5  + 2} \right)^{2025}} = {\left( {\sqrt 5  - 2} \right)^{2024}}.{\left( {\sqrt 5  + 2} \right)^{2024}}.\left( {\sqrt 5  + 2} \right)\)

\( = {\left[ {\left( {\sqrt 5  - 2} \right)\left( {\sqrt 5  + 2} \right)} \right]^{2024}}.\left( {\sqrt 5  + 2} \right) = {\left( {5 - 4} \right)^{2024}}\left( {\sqrt 5  + 2} \right) = \sqrt 5  + 2\)

Đáp án A.

Câu 16 :

Phương trình \({\log _2}x =  - 2\) có nghiệm là:

  • A
    \(x =  - 4\).
  • B
    \(x = 4\).
  • C
    \(x = \frac{{ - 1}}{4}\).
  • D
    \(x = \frac{1}{4}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phương trình \({\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) luôn có nghiệm duy nhất \(x = {a^b}\).

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(x > 0\)

\({\log _2}x =  - 2 \Leftrightarrow x = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{4}\).

Đáp án D.

Câu 17 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \({\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^2} = \sqrt[6]{5}\).
  • B
    \({\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^2} = \sqrt[3]{{10}}\).
  • C
    \({\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^2} = \sqrt {{5^{^3}}} \).
  • D
    \({\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^2} = \sqrt[3]{{{5^2}}}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

\({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\) (với các biểu thức đều có nghĩa).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^2} = \sqrt[3]{{{5^2}}}\).

Đáp án D.

Câu 18 :

Tập nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{{\log }_{16}}x} \right) =  - 2\) là:

  • A
    \(S = \left\{ 3 \right\}\).
  • B
    \(S = \left\{ 2 \right\}\).
  • C
    \(S = \left\{ 4 \right\}\).
  • D
    \(S = \left\{ 5 \right\}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với \(a > 0,a \ne 1\) ta có: \({\log _a}u\left( x \right) = b \Leftrightarrow u\left( x \right) = {a^b}\).

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(x > 0\)

\({\log _2}\left( {{{\log }_{16}}x} \right) =  - 2 \Leftrightarrow {\log _{16}}x = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = {16^{\frac{1}{4}}} = 2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S = \left\{ 2 \right\}\).

Đáp án B.

Câu 19 :

Bất phương trình \(2{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) > {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {3x + 7} \right)\) có nghiệm là:

  • A
    \( - 2 \le x \le 3\).
  • B
    \( - 2 < x < 3\).
  • C
    \( - 1 \le x < 3\).
  • D
    \( - 1 < x < 3\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nếu \(0 < a < 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) > {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) < v\left( x \right)\end{array} \right.\) (có thể thay \(u\left( x \right) > 0\) bằng \(v\left( x \right) > 0\)).

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(x >  - 1\)

\(2{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) > {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {3x + 7} \right) \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{3}}}{\left( {x + 1} \right)^2} > {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {3x + 7} \right) \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} < 3x + 7 \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 < 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 3\)

Kết hợp với điều kiện ta có: \( - 1 < x < 3\).

Đáp án D.

Câu 20 :

Chọn đáp án đúng

Cho a, b là những số thực dương, \(\alpha \) là số thực bất kì. Khi đó:

  • A
    \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\).
  • B
    \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{a}{{{b^\alpha }}}\).
  • C
    \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{b}\).
  • D
    Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho a, b là những số thực dương, \(\alpha \) là số thực bất kì. Khi đó, \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\).

Lời giải chi tiết :

Cho a, b là những số thực dương, \(\alpha \) là số thực bất kì. Khi đó, \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\).

Đáp án A.

Câu 21 :

Nếu hàm số \(T = f\left( t \right)\) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì … biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm \({t_0}\). Đáp án thích hợp điền vào “…” để được câu đúng là:

  • A
    \(f''\left( t \right)\).
  • B
    \(\frac{1}{2}f'\left( {{t_0}} \right)\).
  • C
    \(f'\left( {{t_0}} \right)\).
  • D
    \(\frac{1}{2}f''\left( {{t_0}} \right)\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nếu hàm số \(T = f\left( t \right)\) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì \(f'\left( {{t_0}} \right)\) biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm \({t_0}\).

Lời giải chi tiết :

Nếu hàm số \(T = f\left( t \right)\) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì \(f'\left( {{t_0}} \right)\) biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm \({t_0}\).

Đáp án C.

Câu 22 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SC. Góc giữa IJ và BD bằng:

  • A
    \({60^0}\).
  • B
    \({90^0}\).
  • C
    \({80^0}\).
  • D
    \({70^0}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết :

Vì I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SC nên IJ là đường trung bình của tam giác SAC, do đó, IJ//AC.

Vì ABCD là hình thoi nên \(AC \bot BD\)

Vì \(AC \bot BD\), IJ//AC nên \(BD \bot IJ \Rightarrow \left( {BD,IJ} \right) = {90^0}\).

Đáp án B.

Câu 23 :

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng:

  • A
    1800.
  • B
    1500.
  • C
    900.
  • D
    Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.

Lời giải chi tiết :

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.

Đáp án C.

Câu 24 :

Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?

  • A
    \(y = {2^x}\).
  • B
    \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\).
  • C
    \(y = {e^x}\).
  • D
    \(y = {\pi ^x}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết :

Vì \(0 < \frac{1}{2} < 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án B.

Câu 25 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (SAB) là điểm:

  • A
    S.
  • B
    A.
  • C
    B.
  • D
    E (với E là trung điểm của SB).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),AD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AD\)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên \(AB \bot AD\).

Mà SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB). Do đó, \(AD \bot \left( {SAB} \right)\).

Do đó, A là hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (SAB).

Đáp án B.

Câu 26 :

Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) đi qua điểm:

  • A
    \(A\left( {1;0} \right)\).
  • B
    \(B\left( {0;1} \right)\).
  • C
    \(C\left( {0; - 1} \right)\).
  • D
    \(D\left( {a;0} \right)\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) đi qua điểm \(\left( {1;0} \right)\) và điểm \(\left( {a;1} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) đi qua điểm \(\left( {1;0} \right)\).

Đáp án A.

Câu 27 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \(SA = a\sqrt 3 \) và \(SA \bot BC\). Góc giữa SD và BC bằng:

  • A
    \({45^0}\).
  • B
    \({60^0}\).
  • C
    \({30^0}\).
  • D
    \({70^0}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD là hình thoi nên BC//AD. Do đó, \(\left( {SD,BC} \right) = \left( {SD,AD} \right) = \widehat {SDA}\)

Vì BC//AD, \(SA \bot BC\) nên \(SA \bot AD\). Do đó, tam giác SAD vuông tại A, suy ra:

\(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {SDA} = {60^0}\)

Đáp án B.

Câu 28 :

Nghiệm của phương trình \(0,{2^{x - 1}} = \frac{1}{{\sqrt {125} }}\) là:

  • A
    \(x = \frac{5}{2}\).
  • B
    \(x = \frac{5}{4}\).
  • C
    \(x = \frac{{ - 1}}{4}\).
  • D
    \(x = \frac{1}{2}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

\({a^{u\left( x \right)}} = {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) = v\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết :

\(0,{2^{x - 1}} = \frac{1}{{\sqrt {125} }} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{2\left( {x - 1} \right)}} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^3} \Leftrightarrow 2x - 2 = 3 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\)

Đáp án A.

Câu 29 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3x\). Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \(M\left( { - 1; - 4} \right)\)có phương trình là:

  • A
    \(y =  - 6x + 8\).
  • B
    \(y = 6x - 8\).
  • C
    \(y = 6x + 2\).
  • D
    \(y =  - 6x - 2\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \({M_0}\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).

Tiếp tuyến \({M_o}T\) có phương trình là: \(y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 3\) nên \(f'\left( { - 1} \right) = 3.{\left( { - 1} \right)^2} + 3 = 6\)

Do đó, tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \(M\left( { - 1; - 4} \right)\) có phương trình là: \(y + 4 = 6\left( {x + 1} \right) \Rightarrow y = 6x + 2\)

Đáp án C.

Câu 30 :

Tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) là:

  • A
    \(T = \mathbb{R}\).
  • B
    \(T = \left( { - \infty ;0} \right)\).
  • C
    \(T = \left( {0; + \infty } \right)\).
  • D
    \(T = \left( { - 1;1} \right)\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) là \(T = \left( {0; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết :

Tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) là \(T = \left( {0; + \infty } \right)\).

Đáp án C.

Câu 31 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

  • A
    Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (P).
  • B
    Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
  • C
    Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với mặt phẳng (P).
  • D
    Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì nó vuông góc với bất kì đường thẳng nào trong mặt phẳng (P).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Câu sai vì d phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).

Các đáp án còn lại đều đúng.

Đáp án B.

Câu 32 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng \(SA = SC,SB = SD\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
    \(AB \bot \left( {SAC} \right)\).
  • B
    \(CD \bot AC\).
  • C
    \(CD \bot \left( {SBD} \right)\).
  • D
    \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

Lời giải chi tiết :

Vì \(SA = SC\) nên tam giác SAC cân tại S, mà SO là đường trung tuyến nên SO là đường cao của tam giác SAC. Do đó, \(SO \bot AC\) (1)

Vì \(SB = SD\) nên tam giác SBD cân tại S, mà SO là đường trung tuyến nên SO là đường cao của tam giác SBD. Do đó, \(SO \bot BD\) (2)

Lại có: BD và AC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (ABCD) (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Đáp án D.

Câu 33 :

Rút gọn biểu thức \({\left( {{a^{\sqrt 3 }}.{b^{\frac{{ - 6}}{{\sqrt 3 }}}}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\) (với \(a,b > 0\)) được kết quả là:

  • A
    \({a^2}\).
  • B
    \(\frac{a}{{{b^2}}}\).
  • C
    \(\frac{b}{a}\).
  • D
    \(a{b^2}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}},{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\) (a khác 0).

Lời giải chi tiết :

\({\left( {{a^{\sqrt 3 }}.{b^{\frac{{ - 6}}{{\sqrt 3 }}}}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = {\left( {{a^{\sqrt 3 }}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}.{\left( {{b^{\frac{{ - 6}}{{\sqrt 3 }}}}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = a.{b^{\frac{{ - 6}}{3}}} = \frac{a}{{{b^2}}}\)

Đáp án B.

Câu 34 :

Nghiệm của phương trình \({\left( {\sqrt 3 } \right)^x} = 3\) là:

  • A
    \(x = 0\).
  • B
    \(x = 2\).
  • C
    \(x =  - 1\).
  • D
    \(x = 1\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

\({a^{u\left( x \right)}} = {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) = v\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết :

\({\left( {\sqrt 3 } \right)^x} = 3 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 } \right)^x} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \Leftrightarrow x = 2\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 2\)

Đáp án B.

Câu 35 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}x\). Biết rằng: \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]} y = M,\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]} y = m\). Khi đó:

  • A
    \(M.m = 2\).
  • B
    \(M.m =  - 1\).
  • C
    \(M.m = 4\).
  • D
    \(M.m = 1\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\):

+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}x\) có \(0 < \frac{1}{{\sqrt 3 }} < 1\) nên nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]} y = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\frac{1}{3} = 2,\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]} y = f\left( 3 \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}3 =  - 2\)

Do đó, \(M.m =  - 1\)

Đáp án B.

Câu 36 :

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không nằm trong (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (P). Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi…

Cụm từ thích hợp điền vào… để được đáp án đúng là:

  • A
    a vuông góc với \(b'\).
  • B
    a song song với \(b'\).
  • C
    a cắt \(b'\).
  • D
    a và \(b'\) chéo nhau.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không nằm trong (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (P). Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với \(b'\).

Lời giải chi tiết :

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không nằm trong (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (P). Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với \(b'\).

Đáp án A.

Câu 37 :

Chọn đáp án đúng.

Trong không gian, cho đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d:

  • A
    Vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P).
  • B
    Vuông góc với đường thẳng a mà đường thẳng a song song mặt phẳng (P).
  • C
    Vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
  • D
    Vuông góc với đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Trong không gian, cho đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Trong không gian, cho đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).

Đáp án C.

Câu 38 :

Chọn đáp án đúng.

Với a, b, c là các số dương và \(a \ne 1,b \ne 1\) thì:

  • A
    \({\log _a}c = {\log _b}c.{\log _b}a\).
  • B
    \({\log _a}c = \frac{{{{\log }_b}c}}{{{{\log }_b}a}}\).
  • C
    \({\log _a}c = {\log _b}c + {\log _b}a\).
  • D
    \({\log _a}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_b}c}}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với a, b, c là các số dương và \(a \ne 1,b \ne 1\) thì \({\log _a}c = \frac{{{{\log }_b}c}}{{{{\log }_b}a}}\).

Lời giải chi tiết :

Với a, b, c là các số dương và \(a \ne 1,b \ne 1\) thì \({\log _a}c = \frac{{{{\log }_b}c}}{{{{\log }_b}a}}\).

Đáp án B.

Câu 39 :

Cho hình chóp S. ABC có ABC là tam giác cân tại C, SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây là sai?

  • A
    \(CH \bot AK\).
  • B
    \(CH \bot SB\).
  • C
    \(CH \bot SA\).
  • D
    \(SB \bot AK\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì H là trung điểm của AB, mà tam giác ABC cân tại C nên \(CH \bot AB\).

Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right),CH \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CH\)

Ta có: \(CH \bot AB\), \(SA \bot CH\), SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB) nên \(CH \bot \left( {SAB} \right)\). Mà \(AK,SB \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow AK \bot CH,SB \bot CH\)

Do đó, đáp án sai là D.

Đáp án D.

Câu 40 :

Đạo hàm của hàm số \(y = \tan x\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\) là:

  • A
    \(\frac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}x}}\).
  • B
    \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
  • C
    \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
  • D
    \(\frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

\(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

\(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Đáp án B.

Bài liên quan
close