tuyensinh247

Câu 6.43 trang 204 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 6.43 trang 204 SBT Đại số 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

a) Tính \(x = \cos \dfrac{{2\pi }}{5}\) bằng “phương pháp hình học” như sau:

Xét tam giác cân ABC với \(\widehat B = \widehat C = \dfrac{{2\pi }}{5}\), kẻ đường phân giác BD của tam giác đó. Từ tính chất  \(\dfrac{{BC}}{{BA}} = \dfrac{{DC}}{{DA}}\) (h. 6.7) hãy suy ra \(4{x^2} + 2x - 1 = 0\).

b) Từ đó tính \(\cos \dfrac{\pi }{5},\sin \dfrac{\pi }{5},\tan \dfrac{\pi }{5}\).

c) Tính sin, côsin, tang của \({18^0}\)

d) Viết \(6 = 36 - 30\), tính sin, côsin của \({6^0}\). Thử lại bằng má tính bỏ túi.

 

Lời giải chi tiết

a) Dễ thấy \(BC = BD = AD\), nên đặt \(BC = a,AB = b\) thì \(\cos \dfrac{{2\pi }}{5} = \dfrac{a}{{2b}}.\)     (1)

Ta có \(\dfrac{{DC}}{{DA}} = \dfrac{{BC}}{{BA}}\) suy ra \(\dfrac{{b - a}}{a} = \dfrac{a}{b}\), tức là \(\dfrac{{1 - \dfrac{a}{b}}}{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{a}{b}.\)          (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\dfrac{{1 - 2\cos \dfrac{{2\pi }}{5}}}{{2\cos \dfrac{{2\pi }}{5}}} = 2\cos \dfrac{{2\pi }}{5}\) hay

\(4{\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{5} + 2\cos \dfrac{{2\pi }}{5} - 1 = 0\), tức là \(4{x^2} + 2x - 1 = 0\).          (3)

b) Giải phương trình (3), ta được \(x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}\) hoặc \(x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4}\) .

Từ đó \(\cos \dfrac{{2\pi }}{5} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4} < 0\) (loại) hoặc \(\cos \dfrac{{2\pi }}{5} = \dfrac{{\sqrt 5  - 1}}{4}.\) Suy ra

\({sin\frac{\pi }{5} = \sqrt {\frac{{1 - \cos \frac{{2\pi }}{5}}}{2}}  = \sqrt {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{8}}  = \frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{4};}\)

\({\tan \frac{\pi }{5} = \frac{{\sin \frac{\pi }{5}}}{{\cos \frac{\pi }{5}}} = \frac{{\frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{4}}}{{\frac{{\sqrt 5  + 1}}{4}}} = \frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt 5  + 1}} = \sqrt {5 - r\sqrt 5 .} }\)

c)

\(\begin{array}{l}\sin {18^0} = \sin \dfrac{\pi }{{10}} = \sin \left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi }{5}} \right)\\ = \sqrt {\dfrac{{1 - \cos \dfrac{\pi }{5}}}{2}}  = \dfrac{1}{4}\sqrt {2\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} .\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\cos {18^0} = \cos \dfrac{\pi }{{10}} = \cos \left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi }{5}} \right)\\ = \sqrt {\dfrac{{1 + \cos \dfrac{\pi }{5}}}{2}}  = \dfrac{1}{4}\sqrt {2\left( {5 + \sqrt 5 } \right)} .\end{array}\)

\(\tan {18^0} = \dfrac{{\sin {{18}^0}}}{{\cos {{18}^0}}} = \sqrt {1 - \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}} .\)

d)

\(\begin{array}{l}\sin {6^0} = \sin \left( {{{36}^0} - {{30}^0}} \right) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{5} - \dfrac{\pi }{6}} \right)\\ = \sin \dfrac{\pi }{5}\cos \dfrac{\pi }{6} - \cos \dfrac{\pi }{5}\sin \dfrac{\pi }{6}\\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \dfrac{\pi }{5} - \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{\pi }{5}\\ = \dfrac{1}{8}\left[ {\sqrt {6\left( {5 - \sqrt 5 } \right)}  - \left( {\sqrt 5  + 1} \right)} \right]\left( { \approx 0,1045} \right).\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\cos {6^0} = \cos \left( {{{36}^0} - {{30}^0}} \right) = \cos \left( {\dfrac{\pi }{5} - \dfrac{\pi }{6}} \right)\\ = \cos \dfrac{\pi }{5}\cos \dfrac{\pi }{6} + \sin \dfrac{\pi }{5}\sin \dfrac{\pi }{6}\\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \dfrac{\pi }{5} + \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{5}\\ = \dfrac{1}{8}\left[ {\sqrt 3 \left( {\sqrt 5  + 1} \right) + \sqrt {2\left( {5 - \sqrt 5 } \right)} } \right]\left( { \approx 0,9945} \right).\end{array}\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close