Bài 5 trang 126 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $DD'$. Hãy xác định các thiết diện của hình lập phương cắt bởi các mặt phẳng $(EFB)$, $(EFC)$, $(EFC')$ và $(EFK)$ với $K$ là trung điểm của cạnh $B'C'$.

Lời giải chi tiết

- Mặt phẳng $(EFB)$ chính là mặt phẳng $(ABF)$, mặt phẳng này chứa cạnh $AB//CD$ nên $(EFB) ∩ (DCC'D')=GF // AB \,\,\, (G \in CC')$

Ta có thiết diện là hình bình hành $ABGF$ như hình dưới đây.

Tuy nhiên ta lại có $AB \bot \left( {ADD'A'} \right) \Rightarrow AB \bot AF \Rightarrow ABGF$ là hình chữ nhật.

- Trong mặt phẳng $(ABCD), CE ∩ DA$ tại $J$. Trong mặt phẳng $(ADD’A’)$ có $JF ∩ AA’$ tại $I$.

Thiết diện cần dựng là hình thang $CFIE$ ($IE // FC$) như hình dưới đây:

- Trong mặt phẳng $(DCC’D’)$, $C’F ∩ CD$ tại $M$. Trong mặt phẳng $(ABCD)$, $EM ∩ AD$ tại $N$, $FN$ là giao tuyến của mặt phẳng $(C’EF)$ với mặt bên $(ADD’A’)$.

Trong mặt phẳng $(ABCD)$, $ME ∩ BC$ tại $Q$. Trong mặt phẳng $(BCC’B’)$, $C’Q ∩ BB’$ tại $P$.

Thiết diện cần dựng là hình ngũ giác $C’PENF$ như hình dưới đây:

- Gọi $E, H, F, I, K, J$ theo thứ tự là trung điểm của $AB, AD, DD’, D’C’, C’B’, BB’$. Ta dễ dàng chứng minh được 6 điểm $E, H, F, I, K, J$ nằm trên cùng một mặt phẳng. Mặt phẳng này chính là mặt phẳng $(EFK)$ và thiết diện có được là hình lục giác $EHFIKJ$. Lục giác này có ba cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là lục giác đều. Hình dưới đây:

Loigiaihay.com