Bài 3 trang 126 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB$ là đáy lớn. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, $E$ là giao điểm của hai cạnh của hình thang $ABCD$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ECD$.

a) Chứng minh rằng bốn điểm $S, E, M, G$ cùng thuộc một mặt phẳng $(α)$ và mặt phẳng này cắt cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ theo cùng một giao tuyến $d$.

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$.

c) Lấy một điểm $K$ trên đoạn $SE$ và gọi $C'= SC ∩KB, D'=SD ∩ KA$. Chứng minh rằng hai giao điểm của $AC'$ và $BD'$ thuộc đường thẳng $d$ nói trên.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $DB$; $N$ là giao của $EM$ và $DC$.

$M$ là trung điểm của $AB$ nên $N$ là trung điểm của $DC$ (vì $ABCD$ là hình thang)

Mà G là trọng tâm tam giác EDC nên $G \in EN$

$\Rightarrow G \in \left( {SEM} \right)$ hay các điểm $S, E, G, M$ cùng thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ chính là mặt phẳng $(SEM)$

Ta dễ thấy $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SEM} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO\\\left( {SEM} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\end{array} \right.$

b) $E = AD \cap BC \Rightarrow E \in AD \Rightarrow E \in (SAD)$

$E ∈ BC ⇒ E ∈ (SBC)$

Vậy $E$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$

$S$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAD)$ và  $(SBC)$

$\Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SE$

c) $C' = SC \cap KB \Rightarrow C' \in SC \Rightarrow C' \in \left( {SAC} \right)$$\Rightarrow AC' \subset \left( {SAC} \right)$

Tương tự ta có: $BD' ∈ (SDB)$

Hai đường thẳng $AC’$ và $BD’$ cùng thuộc mặt phẳng $(ABK)$, giả sử $I = AC' \cap BD'$

$I ∈ AC’ \subset (SAC); I ∈ BD’ \subset (SDB)$

$⇒ I$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SDB)$ hay $I ∈ d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Loigiaihay.com