Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $G$ và $H$ tương ứng là trọng tâm và trực tâm của tam giác, các điểm $A',B',C'$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, CA, AB$.

a) Tìm phép vị tự $F$ biến $A, B, C$ tương ứng thành $A',B',C'$

b) Chứng minh rằng $O, G, H$ thẳng hàng.

c) Tìm ảnh của $O$ qua phép vị tự $F$

d) Gọi $A”, B”, C”$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AH, BH, CH$; $A_1, B_1, C_1$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các tia $AH, BH, CH$ với đường tròn $(O)$; $A_1',B_1',C_1'$ tương ứng là chân các đường cao đi qua $A, B, C$. Tìm ảnh của $A, B, C$, $A_1, B_1, C_1$ qua phép vị tự tâm $H$ tỉ số ${1 \over 2}$

e) Chứng minh chín điểm $A',B',C'$,$A”, B”, C”$,$A_1',B_1',C_1'$cùng thuộc một đường tròn (đường tròn này gọi là đường tròn Ơ-le của tam giác $ABC$)

Lời giải chi tiết

a) Ta có

$\eqalign{ & \overrightarrow {GA'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GA} ; \cr & \overrightarrow {GB'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GB} ; \cr & \overrightarrow {GC'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GC} \cr}$.

Vậy phép vị tự tâm $G$ tỉ số $k =  - {1 \over 2}$ biến $A, B, C$ thành $A’, B’, C’$.

b) $A’$ là trung điểm của dây $BC$ nên $OA’ ⊥ BC$

Ta lại có $BC // C’B’ \Rightarrow OA’ ⊥ B’C’$. Tương tự $B'O \bot A'C'$

$⇒$ Trong tam giác $A’B’C’$, $A'O \bot B'C',B'O \bot A'C'$ nên $O$ là trực tâm của $∆A’B’C’$.

$H$ là trực tâm của $∆ABC$ và $O$ là trực tâm của $∆A’B’C’$ nên $O$ là ảnh của $H$ trong phép vị tự tâm $G$, tỉ số $k =  - {1 \over 2} \Rightarrow \overrightarrow {GO}  =  - {1 \over 2}\overrightarrow {GH}$ 

$⇒$ Ba điểm $O, G, H$ thẳng hàng.

c) Gọi ${V_{\left( {G; - {1 \over 2}} \right)}(O)=O'}$ ta có:

$\eqalign{ & \overrightarrow {GO'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GO} \cr & \overrightarrow {GO} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GH}  \Rightarrow \overrightarrow {OG} = {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \cr & \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GO'} = {1 \over 2}\overrightarrow {GH} - {1 \over 2}\overrightarrow {GO} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {OO'} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {GH} - \overrightarrow {GO} } \right) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {OO'} = {1 \over 2}\overrightarrow {OH} \cr}$ 

Suy ra $O’$ là trung điểm của đoạn thẳng $OH$.

d) Gọi A'', B'', C'' lần lượt là trung điểm của AH, BH, CH ta có:

$\eqalign{ & \overrightarrow {HA''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HA} \cr & \overrightarrow {HB''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HB} \cr & \overrightarrow {HC''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HC} \cr}$ 

Vậy $A”, B”, C”$ là ảnh của các điểm $A, B, C$ trong phép vị tự ${V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}$.

Ta dễ dàng chứng minh được $A_1',B_1',C_1'$ theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng $H{A_1},H{B_1},H{C_1}$ nên:

$\eqalign{ & \overrightarrow {H{A_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{A_1}} \cr & \overrightarrow {H{B_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{B_1}} \cr & \overrightarrow {H{C_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{C_1}} \cr}$ 

Như vậy $A_1',B_1',C_1'$ theo thứ tự là ảnh của các điểm $A_1, B_1, C_1$ trong phép vị tự ${V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}$

e) Gọi $A_2, B_2, C_2$ theo thứ tự là các điểm xuyên tâm đối của các điểm $A, B, C$ qua tâm $O$ của đường tròn. Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác $BHCA_2$ là hình bình hành, do đó $H$ và $A_2$ đối xứng qua $A’$, ta có:

$\eqalign{ & \overrightarrow {HA'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{A_2}} \cr & \overrightarrow {HB'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{B_2}} \cr & \overrightarrow {HC'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{C_2}} \cr}$

Như vậy, các điểm $A’, B’, C’$ theo thứ tự là ảnh của các điểm $A_2, B_2, C_2$ trong phép vị tự ${V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}$.

Từ đó ta có: 

Chín điểm $A’, B’,C’,A”, B”,C”$, $A_1',B_1',C_1'$ theo thứ tự là ảnh của các điểm $A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}$ trong phép tự vị ${V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}$ mà chín điểm $A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}$ nằm trên đường tròn $(O)$ nên chín điểm $A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}$ nằm trên đường tròn ảnh của đường tròn $(O)$ trong phép vị tự ${V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}$

Loigiaihay.com